미적분 예제

$\int_{1}^{e} x^{3} \ln (x) d x$

단계 1

$u = \ln (x)$ 이고 $d v = x^{3}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\ln (x) (\frac{1}{4} x^{4})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$\ln (x) \frac{x^{4}}{4}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

단계 2.2

$\ln (x)$ 와 $\frac{x^{4}}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

단계 3

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} x^{4} \frac{1}{x} d x)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$x^{4}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} \frac{x^{4}}{x} d x)$

단계 4.2

$x^{4}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.1

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{3}}{x} d x)$

단계 4.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} d x)$

단계 4.2.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

단계 4.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

단계 4.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{1} d x)$

단계 4.2.2.5

$x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} x^{3} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - \frac{1}{4} \int_{1}^{e} x^{3} d x$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - \frac{1}{4} \frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{e}$

단계 6

답을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$e$ , $1$ 일 때, $\frac{\ln (x) x^{4}}{4}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{\ln (e) e^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{1}{4} \frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{e}$

단계 6.2

$e$ , $1$ 일 때, $\frac{1}{4} x^{4}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{\ln (e) e^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{4} e^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

단계 6.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{4} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{4} e^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

단계 6.4

$\ln (1)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{4} e^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

단계 6.5

$\frac{1}{4}$ 와 $e^{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

단계 6.6

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1)$

단계 6.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})$

단계 6.8

간단히 합니다.

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단계 6.8.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4}) \cdot \frac{4}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

단계 6.8.2

$- \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} + \frac{- \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4}) \cdot 4}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

단계 6.8.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\ln (e) e^{4} - \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4}) \cdot 4}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

단계 6.8.4

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (e) e^{4} - 4 (\frac{1}{4}) (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

단계 6.8.5

$- 4$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (e) e^{4} + \frac{- 4}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

단계 6.8.6

$- 4$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.8.6.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\ln (e) e^{4} + \frac{4 \cdot - 1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

단계 6.8.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 6.8.6.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\ln (e) e^{4} + \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

단계 6.8.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\ln (e) e^{4} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

단계 6.8.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\ln (e) e^{4} + \frac{- 1}{1} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

단계 6.8.6.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\ln (e) e^{4} - (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{\ln (e) e^{4} - (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

소수 형태:

$10.29965313 \dots$