미적분 예제

$\int \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) d x$

단계 1

먼저 $u_{2} = \sin (\frac{x}{2})$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} d x$ 이므로 $- d u_{2} = \frac{- \cos (\frac{x}{2})}{2} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u_{2} = \sin (\frac{x}{2})$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\sin (\frac{x}{2})$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$

단계 1.1.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = \frac{x}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

단계 1.1.2.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

단계 1.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

단계 1.1.3

미분합니다.

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단계 1.1.3.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.1.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $\cos (\frac{x}{2})$ 을 묶습니다.

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

단계 1.1.3.4

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

단계 1.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{2}{1} u_{2} d u_{2}$

단계 2

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\int 2 u_{2} d u_{2}$

단계 3

$2$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int u_{2} d u_{2}$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $u_{2}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ 을 $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

단계 5.2

간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

단계 5.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

단계 5.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$1 {u_{2}}^{2} + C$

단계 5.2.3

${u_{2}}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${u_{2}}^{2} + C$

단계 6

$u_{2}$ 를 모두 $\sin (\frac{x}{2})$ 로 바꿉니다.

$\sin^{2} (\frac{x}{2}) + C$

단계 7

항을 다시 정렬합니다.

$\sin^{2} (\frac{1}{2} x) + C$