미적분 예제

$y = - 2 x^{4} \sqrt{4 x + 5}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{4 x + 5}$ 을(를) ${(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = - 2 x^{4} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{4} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}})$

단계 3

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 4.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x^{4} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{4} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.2

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 (x^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}] + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 4.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 4 x + 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 x + 5$ 로 바꿉니다.

$- 2 (x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 4.3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 4.3.3

$u$ 를 모두 $4 x + 5$ 로 바꿉니다.

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 4.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 4.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 4.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 4.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 4.7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 4.8

분수를 통분합니다.

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단계 4.8.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 4.8.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(4 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$- 2 (x^{4} (\frac{{(4 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 4.8.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(4 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 4.8.4

$\frac{1}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5] + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 4.9

합의 법칙에 의해 $4 x + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 4.10

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 4.11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 4.12

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 4.13

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 4.14

항을 간단히 합니다.

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단계 4.14.1

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4 + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 4.14.2

$\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$- 2 (\frac{x^{4} \cdot 4}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 4.14.3

$x^{4}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$- 2 (\frac{4 \cdot x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 4.14.4

$4 x^{4}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 2 (\frac{2 (2 x^{4})}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 4.15

공약수로 약분합니다.

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단계 4.15.1

$2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 2 (\frac{2 (2 x^{4})}{2 ({(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}})} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 4.15.2

공약수로 약분합니다.

$- 2 (\frac{2 (2 x^{4})}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 4.15.3

수식을 다시 씁니다.

$- 2 (\frac{2 x^{4}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 4.16

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 (\frac{2 x^{4}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (4 x^{3}))$

단계 4.17

${(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$- 2 (\frac{2 x^{4}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + 4 \cdot {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{3})$

단계 4.18

공통분모를 사용하여 $\frac{2 x^{4}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $4 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{3}$ 을 하나로 묶습니다.

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단계 4.18.1

${(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$- 2 (\frac{2 x^{4}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + 4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}})$

단계 4.18.2

공통 분모를 가지는 분수로 $4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$- 2 (\frac{2 x^{4}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}})$

단계 4.18.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.19

지수를 더하여 ${(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 4.19.1

${(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} ({(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.19.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.19.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.19.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{2}{2}}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.19.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} {(4 x + 5)}^{1}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.20

$4 x^{3} {(4 x + 5)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} (4 x + 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.21

$- 2$ 와 $\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} (4 x + 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 (2 x^{4} + 4 x^{3} (4 x + 5))}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.22

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 (2 x^{4} + 4 x^{3} (4 x + 5))}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.23

간단히 합니다.

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단계 4.23.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{2 (2 x^{4} + 4 x^{3} (4 x) + 4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.23.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{2 (2 x^{4}) + 2 (4 x^{3} (4 x)) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.23.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.23.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.23.3.1.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{4 x^{4} + 2 (4 x^{3} (4 x)) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.23.3.1.2

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.23.3.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$- \frac{4 x^{4} + 2 (4 (x \cdot x^{3}) \cdot 4) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.23.3.1.2.2

$x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 4.23.3.1.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{4 x^{4} + 2 (4 (x^{1} x^{3}) \cdot 4) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.23.3.1.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{4 x^{4} + 2 (4 x^{1 + 3} \cdot 4) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.23.3.1.2.3

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$- \frac{4 x^{4} + 2 (4 x^{4} \cdot 4) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.23.3.1.3

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- \frac{4 x^{4} + 2 (16 x^{4}) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.23.3.1.4

$16$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{4 x^{4} + 32 x^{4} + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.23.3.1.5

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- \frac{4 x^{4} + 32 x^{4} + 2 (20 x^{3})}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.23.3.1.6

$20$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{4 x^{4} + 32 x^{4} + 40 x^{3}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.23.3.2

$4 x^{4}$ 를 $32 x^{4}$ 에 더합니다.

$- \frac{36 x^{4} + 40 x^{3}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.23.4

$36 x^{4} + 40 x^{3}$ 에서 $4 x^{3}$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.23.4.1

$36 x^{4}$ 에서 $4 x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{4 x^{3} (9 x) + 40 x^{3}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.23.4.2

$40 x^{3}$ 에서 $4 x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{4 x^{3} (9 x) + 4 x^{3} (10)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.23.4.3

$4 x^{3} (9 x) + 4 x^{3} (10)$ 에서 $4 x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{4 x^{3} (9 x + 10)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - \frac{4 x^{3} (9 x + 10)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x^{3} (9 x + 10)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$