미적분 예제

$y = \tan (5 x)$ , $y = 2 \sin (5 x)$ , $- \frac{π}{15} \leq x \leq \frac{π}{15}$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$\tan (5 x) = 2 \sin (5 x)$

단계 1.2

$\tan (5 x) = 2 \sin (5 x)$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$\tan (5 x) = 2 \sin (5 x)$ 의 각 항을 $\tan (5 x)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

$\tan (5 x) = 2 \sin (5 x)$ 의 각 항을 $\tan (5 x)$ 로 나눕니다.

$\frac{\tan (5 x)}{\tan (5 x)} = \frac{2 \sin (5 x)}{\tan (5 x)}$

단계 1.2.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.2.1

$\tan (5 x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\tan (5 x)}{\tan (5 x)} = \frac{2 \sin (5 x)}{\tan (5 x)}$

단계 1.2.1.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$1 = \frac{2 \sin (5 x)}{\tan (5 x)}$

단계 1.2.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.3.1

분수를 나눕니다.

$1 = \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\tan (5 x)}$

단계 1.2.1.3.2

$\tan (5 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$1 = \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

단계 1.2.1.3.3

$\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$1 = \frac{2}{1} (\sin (5 x) \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)})$

단계 1.2.1.3.4

$\sin (5 x)$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$1 = \frac{2}{1} (\frac{\sin (5 x)}{1} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)})$

단계 1.2.1.3.5

$\sin (5 x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.3.5.1

공약수로 약분합니다.

$1 = \frac{2}{1} (\frac{\sin (5 x)}{1} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)})$

단계 1.2.1.3.5.2

수식을 다시 씁니다.

$1 = \frac{2}{1} \cos (5 x)$

단계 1.2.1.3.6

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 = 2 \cos (5 x)$

단계 1.2.2

$2 \cos (5 x) = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$2 \cos (5 x) = 1$

단계 1.2.3

$2 \cos (5 x) = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$2 \cos (5 x) = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 \cos (5 x)}{2} = \frac{1}{2}$

단계 1.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cos (5 x)}{2} = \frac{1}{2}$

단계 1.2.3.2.1.2

$\cos (5 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos (5 x) = \frac{1}{2}$

단계 1.2.4

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$5 x = \arccos (\frac{1}{2})$

단계 1.2.5

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{3}$ 입니다.

$5 x = \frac{π}{3}$

단계 1.2.6

$5 x = \frac{π}{3}$ 의 각 항을 $5$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$5 x = \frac{π}{3}$ 의 각 항을 $5$ 로 나눕니다.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

단계 1.2.6.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.2.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

단계 1.2.6.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

단계 1.2.6.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

단계 1.2.6.3.2

$\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.3.2.1

$\frac{π}{3}$ 에 $\frac{1}{5}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{π}{3 \cdot 5}$

단계 1.2.6.3.2.2

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$x = \frac{π}{15}$

단계 1.2.7

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$5 x = 2 π - \frac{π}{3}$

단계 1.2.8

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.8.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.8.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$5 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

단계 1.2.8.1.2

$2 π$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$5 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

단계 1.2.8.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$5 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

단계 1.2.8.1.4

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$5 x = \frac{6 π - π}{3}$

단계 1.2.8.1.5

$6 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$5 x = \frac{5 π}{3}$

단계 1.2.8.2

$5 x = \frac{5 π}{3}$ 의 각 항을 $5$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.8.2.1

$5 x = \frac{5 π}{3}$ 의 각 항을 $5$ 로 나눕니다.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{5 π}{3}}{5}$

단계 1.2.8.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.8.2.2.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.8.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{5 π}{3}}{5}$

단계 1.2.8.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{5}$

단계 1.2.8.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.8.2.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

단계 1.2.8.2.3.2

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.8.2.3.2.1

$5 π$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{5 (π)}{3} \cdot \frac{1}{5}$

단계 1.2.8.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

단계 1.2.8.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x = \frac{π}{3}$

단계 1.2.9

$\cos (5 x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 1.2.9.2

주기 공식에서 $b$ 에 $5$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 5 |}$

단계 1.2.9.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $5$ 사이의 거리는 $5$ 입니다.

$\frac{2 π}{5}$

단계 1.2.10

함수 $\cos (5 x)$ 의 주기는 $\frac{2 π}{5}$ 이므로 양 방향으로 $\frac{2 π}{5}$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}, \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$

단계 1.3

$x = \frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x$ 에 $\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$ 를 대입합니다.

$y = 2 \sin (5 (\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}))$

단계 1.3.2

$y = 2 \sin (5 (\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}))$ 에서 $x$ 에 $\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 2 \sin (5 (\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}))$

단계 1.3.2.2

$2 \sin (5 (\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}))$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = 2 \sin (5 \frac{π}{15} + 5 \frac{2 π n}{5})$

단계 1.3.2.2.2

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.2.1

$15$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$y = 2 \sin (5 \frac{π}{5 (3)} + 5 \frac{2 π n}{5})$

단계 1.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = 2 \sin (5 \frac{π}{5 \cdot 3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

단계 1.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

단계 1.3.2.2.3

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

단계 1.3.2.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 2 π n)$

단계 1.4

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x$ 에 $\frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$ 를 대입합니다.

$y = 2 \sin (5 (\frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}))$

단계 1.4.2

$2 \sin (5 (\frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}))$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = 2 \sin (5 \frac{π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

단계 1.4.2.2

$5$ 와 $\frac{π}{3}$ 을 묶습니다.

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

단계 1.4.2.3

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

단계 1.4.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

단계 1.5

모든 해를 나열합니다.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$

단계 2

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) d x - \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} \tan (5 x) d x$

단계 3

$- \frac{π}{15}$ 과(와) $\frac{π}{15}$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) - (\tan (5 x)) d x$

단계 3.2

$\tan (5 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) - \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)} d x$

단계 3.3

$\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ 을 $\tan (5 x)$ 로 변환합니다.

$\int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) - \tan (5 x) d x$

단계 3.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) d x + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

단계 3.5

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} \sin (5 x) d x + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

단계 3.6

먼저 $u_{1} = 5 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 5 d x$ 이므로 $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$u_{1} = 5 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.1

$5 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [5 x]$

단계 3.6.1.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.6.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \cdot 1$

단계 3.6.1.4

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5$

단계 3.6.2

$u_{1} = 5 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 5 (- \frac{π}{15})$

단계 3.6.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.3.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.3.1.1

$- \frac{π}{15}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{15}$

단계 3.6.3.1.2

$15$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{5 (3)}$

단계 3.6.3.1.3

공약수로 약분합니다.

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{5 \cdot 3}$

단계 3.6.3.1.4

수식을 다시 씁니다.

$u_{lower} = \frac{- π}{3}$

단계 3.6.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

단계 3.6.4

$u_{1} = 5 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 5 \frac{π}{15}$

단계 3.6.5

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.5.1

$15$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = 5 \frac{π}{5 (3)}$

단계 3.6.5.2

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = 5 \frac{π}{5 \cdot 3}$

단계 3.6.5.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

단계 3.6.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

단계 3.6.7

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$2 \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u_{1}) \frac{1}{5} d u_{1} + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

단계 3.7

$\sin (u_{1})$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$2 \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sin (u_{1})}{5} d u_{1} + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

단계 3.8

$\frac{1}{5}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{1}{5} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u_{1}) d u_{1}) + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

단계 3.9

$\frac{1}{5}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{5} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u_{1}) d u_{1} + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

단계 3.10

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u_{1})$ 입니다.

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

단계 3.11

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} \tan (5 x) d x$

단계 3.12

먼저 $u_{2} = 5 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 5 d x$ 이므로 $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.1

$u_{2} = 5 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.1.1

$5 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [5 x]$

단계 3.12.1.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.12.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \cdot 1$

단계 3.12.1.4

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5$

단계 3.12.2

$u_{2} = 5 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 5 (- \frac{π}{15})$

단계 3.12.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.3.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.3.1.1

$- \frac{π}{15}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{15}$

단계 3.12.3.1.2

$15$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{5 (3)}$

단계 3.12.3.1.3

공약수로 약분합니다.

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{5 \cdot 3}$

단계 3.12.3.1.4

수식을 다시 씁니다.

$u_{lower} = \frac{- π}{3}$

단계 3.12.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

단계 3.12.4

$u_{2} = 5 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 5 \frac{π}{15}$

단계 3.12.5

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.5.1

$15$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = 5 \frac{π}{5 (3)}$

단계 3.12.5.2

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = 5 \frac{π}{5 \cdot 3}$

단계 3.12.5.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

단계 3.12.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

단계 3.12.7

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \tan (u_{2}) \frac{1}{5} d u_{2}$

단계 3.13

$\tan (u_{2})$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \frac{\tan (u_{2})}{5} d u_{2}$

단계 3.14

$\frac{1}{5}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - (\frac{1}{5} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \tan (u_{2}) d u_{2})$

단계 3.15

$\tan (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \sec (u_{2}) |)$ 입니다.

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{5} \ln (| \sec (u_{2}) |)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

단계 3.16

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.16.1

$\frac{π}{3}$ , $- \frac{π}{3}$ 일 때, $- \cos (u_{1})$ 값을 계산합니다.

$\frac{2}{5} ((- \cos (\frac{π}{3})) + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} \ln (| \sec (u_{2}) |)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

단계 3.16.2

$\frac{π}{3}$ , $- \frac{π}{3}$ 일 때, $\ln (| \sec (u_{2}) |)$ 값을 계산합니다.

$\frac{2}{5} ((- \cos (\frac{π}{3})) + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} ((\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |)) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

단계 3.16.3

괄호를 제거합니다.

$\frac{2}{5} (- \cos (\frac{π}{3}) + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

단계 3.17

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.17.1

$\cos (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

단계 3.17.2

$\sec (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $2$ 입니다.

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} (\ln (| 2 |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

단계 3.17.3

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})$

단계 3.17.4

$\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

단계 3.17.5

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3}))$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) \cdot \frac{5}{5} - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

단계 3.17.6

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3}))$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) \cdot 5}{5} - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

단계 3.17.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) \cdot 5 - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

단계 3.17.8

$5$ 와 $\frac{2}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{5 \cdot 2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

단계 3.17.9

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{10}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

단계 3.17.10

$10$ 및 $5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.17.10.1

$10$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{5 \cdot 2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

단계 3.17.10.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.17.10.2.1

$5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{5 \cdot 2}{5 (1)} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

단계 3.17.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

단계 3.17.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{2}{1} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

단계 3.17.10.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

단계 3.18

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.18.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.18.1.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 더합니다.

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{5 π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

단계 3.18.1.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

단계 3.18.1.3

$\cos (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

단계 3.18.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 \frac{- 1 + 1}{2} - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

단계 3.18.3

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 (\frac{0}{2}) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

단계 3.18.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.18.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (\frac{0}{2}) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

단계 3.18.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{0 - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

단계 3.18.5

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $2$ 사이의 거리는 $2$ 입니다.

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

단계 3.18.6

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.18.6.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 더합니다.

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| \sec (\frac{5 π}{3}) |})}{5}$

단계 3.18.6.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| \sec (\frac{π}{3}) |})}{5}$

단계 3.18.6.3

$\sec (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $2$ 입니다.

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| 2 |})}{5}$

단계 3.18.6.4

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $2$ 사이의 거리는 $2$ 입니다.

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{2})}{5}$

단계 3.18.7

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{0 - \ln (1)}{5}$

단계 3.18.8

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$\frac{0 - 0}{5}$

단계 3.18.9

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0 + 0}{5}$

단계 3.18.10

공약수를 소거하여 수식 $\frac{0 + 0}{5}$ 을 간단히 정리합니다.

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단계 3.18.10.1

$0$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (0) + 0}{5}$

단계 3.18.10.2

$0$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 \cdot 0 + 5 \cdot 0}{5}$

단계 3.18.10.3

$5 \cdot 0 + 5 \cdot 0$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 \cdot (0 + 0)}{5}$

단계 3.18.10.4

$5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 \cdot (0 + 0)}{5 (1)}$

단계 3.18.10.5

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 \cdot (0 + 0)}{5 \cdot 1}$

단계 3.18.10.6

수식을 다시 씁니다.

$\frac{0 + 0}{1}$

단계 3.18.11

$0 + 0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$0 + 0$

단계 3.18.12

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0$

단계 4