미적분 예제

$\ln (1 - x)$

단계 1

$\ln (1 - x)$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \ln (1 - x)$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \ln (1 - x) d x$

단계 4

$u = \ln (1 - x)$ 이고 $d v = 1$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\ln (1 - x) x - \int x (- \frac{1}{1 - x}) d x$

단계 5

$x$ 와 $\frac{1}{1 - x}$ 을 묶습니다.

$\ln (1 - x) x - \int - \frac{x}{1 - x} d x$

단계 6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (1 - x) x - - \int \frac{x}{1 - x} d x$

단계 7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\ln (1 - x) x + 1 \int \frac{x}{1 - x} d x$

단계 7.1.2

$\int \frac{x}{1 - x} d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (1 - x) x + \int \frac{x}{1 - x} d x$

단계 7.2

$1$ 와 $- x$ 을 다시 정렬합니다.

$\ln (1 - x) x + \int \frac{x}{- x + 1} d x$

단계 8

$x$ 을 $- x + 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$1$

$x$

$0$

단계 8.2

피제수 $x$ 의 고차항을 제수 $- x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

단계 8.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

단계 8.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x - 1$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

단계 8.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

단계 8.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\ln (1 - x) x + \int - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

단계 9

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\ln (1 - x) x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

단계 10

상수 규칙을 적용합니다.

$\ln (1 - x) x - x + C + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

단계 11

먼저 $u = - x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$u = - x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

다시 씁니다.

$\frac{- 1}{1}$

단계 11.1.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1$

단계 11.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\ln (1 - x) x - x + C + \int \frac{- 1}{u} d u$

단계 12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\ln (1 - x) x - x + C + \int - \frac{1}{u} d u$

단계 13

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (1 - x) x - x + C - \int \frac{1}{u} d u$

단계 14

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\ln (1 - x) x - x + C - (\ln (| u |) + C)$

단계 15

간단히 합니다.

$\ln (1 - x) x - x - \ln (| u |) + C$

단계 16

$u$ 를 모두 $- x + 1$ 로 바꿉니다.

$\ln (1 - x) x - x - \ln (| - x + 1 |) + C$

단계 17

답은 함수 $f (x) = \ln (1 - x)$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\ln (1 - x) x - x - \ln (| - x + 1 |) + C$