미적분 예제

$\int \frac{\sin (\sqrt{3 x})}{\sqrt{3 x}} d x$

단계 1

먼저 $u_{1} = 3 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u_{1} = 3 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$3 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

단계 1.1.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1$

단계 1.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}} \cdot 3} d u_{1}$

단계 2.2

$\sqrt{u_{1}}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{3 \sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

단계 3

$\frac{1}{3}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} \int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

단계 4

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u_{1}}$ 을(를) ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} \int \frac{\sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

단계 4.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u_{1}}$ 을(를) ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} \int \frac{\sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

단계 4.3

${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1}$

단계 4.4

${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{3} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1}$

단계 4.4.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1}$

단계 4.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{3} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

단계 5

먼저 $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ 이므로 $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}]$

단계 5.1.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1}$

단계 5.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

단계 5.1.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

단계 5.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

단계 5.1.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 2}{2}}$

단계 5.1.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}}$

단계 5.1.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$

단계 5.1.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.8.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

단계 5.1.8.2

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

단계 5.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} \int 2 \sin (u_{2}) d u_{2}$

단계 6

$2$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} (2 \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

단계 7

$2$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

단계 8

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u_{2})$ 입니다.

$\frac{2}{3} (- \cos (u_{2}) + C)$

단계 9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

간단히 합니다.

$\frac{2}{3} (- \cos (u_{2})) + C$

단계 9.2

$\frac{2}{3}$ 와 $\cos (u_{2})$ 을 묶습니다.

$- \frac{2 \cos (u_{2})}{3} + C$

단계 10

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$u_{2}$ 를 모두 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{2 \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

단계 10.2

$u_{1}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$- \frac{2 \cos ({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$3 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{2 \cos (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

단계 11.2

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{2}{3} \cos (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + C$