미적분 예제

$y = \frac{\csc^{2} (\frac{x}{2})}{3 x + 4}$

단계 1

$f (x) = \csc^{2} (\frac{x}{2})$ , $g (x) = 3 x + 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(3 x + 4) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (\frac{x}{2})] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \csc (\frac{x}{2})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\csc (\frac{x}{2})$ 로 바꿉니다.

$\frac{(3 x + 4) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (\frac{x}{2})]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(3 x + 4) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (\frac{x}{2})]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\csc (\frac{x}{2})$ 로 바꿉니다.

$\frac{(3 x + 4) (2 \csc (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\csc (\frac{x}{2})]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 3

$3 x + 4$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot (3 x + 4) \csc (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\csc (\frac{x}{2})] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 4

$f (x) = \csc (x)$ , $g (x) = \frac{x}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{2 (3 x + 4) \csc (\frac{x}{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 4.2

$\csc (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ 입니다.

$\frac{2 (3 x + 4) \csc (\frac{x}{2}) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{2 (3 x + 4) \csc (\frac{x}{2}) (- \csc (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 (3 x + 4) \csc (\frac{x}{2}) (\csc (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 6

$\csc (\frac{x}{2})$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 2 (3 x + 4) (\csc^{1} (\frac{x}{2}) \csc (\frac{x}{2})) (\cot (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 7

$\csc (\frac{x}{2})$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 2 (3 x + 4) (\csc^{1} (\frac{x}{2}) \csc^{1} (\frac{x}{2})) (\cot (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 2 (3 x + 4) {\csc (\frac{x}{2})}^{1 + 1} (\cot (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- 2 (3 x + 4) \csc^{2} (\frac{x}{2}) (\cot (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 10

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{- 2 (3 x + 4) \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 11

항을 간단히 합니다.

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단계 11.1

$\frac{1}{2}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{- 2}{2} (3 x + 4) \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 11.2

$\csc^{2} (\frac{x}{2})$ 와 $\frac{- 2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot - 2}{2} (3 x + 4) \cot (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 11.3

$\cot (\frac{x}{2})$ 와 $\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot - 2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{\cot (\frac{x}{2}) (\csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot - 2)}{2} (3 x + 4) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 11.4

$\csc^{2} (\frac{x}{2})$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$\frac{\frac{\cot (\frac{x}{2}) (- 2 \cdot \csc^{2} (\frac{x}{2}))}{2} (3 x + 4) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 11.5

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.5.1

$\cot (\frac{x}{2}) (- 2 \csc^{2} (\frac{x}{2}))$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{2 (\cot (\frac{x}{2}) (- \csc^{2} (\frac{x}{2})))}{2} (3 x + 4) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 11.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 11.5.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{2 (\cot (\frac{x}{2}) (- \csc^{2} (\frac{x}{2})))}{2 (1)} (3 x + 4) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 11.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{2 (\cot (\frac{x}{2}) (- \csc^{2} (\frac{x}{2})))}{2 \cdot 1} (3 x + 4) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 11.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{\cot (\frac{x}{2}) (- \csc^{2} (\frac{x}{2}))}{1} (3 x + 4) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 11.5.2.4

$\cot (\frac{x}{2}) (- \csc^{2} (\frac{x}{2}))$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\cot (\frac{x}{2}) (- \csc^{2} (\frac{x}{2})) (3 x + 4) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\cot (\frac{x}{2}) (- \csc^{2} (\frac{x}{2})) (3 x + 4) \cdot 1 - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 13

$\cot (\frac{x}{2})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(- \csc^{2} (\frac{x}{2})) (3 x + 4) \cdot \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 14

합의 법칙에 의해 $3 x + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x + 4) \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 15

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x + 4) \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 16

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x + 4) \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 17

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x + 4) \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 + \frac{d}{d x} [4])}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 18

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$\frac{- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x + 4) \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 + 0)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 19

식을 간단히 합니다.

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단계 19.1

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x + 4) \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 3}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 19.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x + 4) \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 20

간단히 합니다.

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단계 20.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 4) \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 20.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x) \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 4 \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 20.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 20.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 20.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- 1 \cdot 3 \csc^{2} (\frac{x}{2}) x \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 4 \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 20.3.1.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 \csc^{2} (\frac{x}{2}) x \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 4 \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 20.3.1.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 \csc^{2} (\frac{x}{2}) x \cot (\frac{x}{2}) - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 20.3.2

$- 3 \csc^{2} (\frac{x}{2}) x \cot (\frac{x}{2}) - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{- 3 x \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 20.4

$- 3 x \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})$ 에서 $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ 를 인수분해합니다.

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단계 20.4.1

$- 3 x \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2})$ 에서 $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 3 x \cot (\frac{x}{2})) - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 20.4.2

$- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2})$ 에서 $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 3 x \cot (\frac{x}{2})) + \csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 4 \cot (\frac{x}{2})) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 20.4.3

$- 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})$ 에서 $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 3 x \cot (\frac{x}{2})) + \csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 4 \cot (\frac{x}{2})) + \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot - 3}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 20.4.4

$\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 3 x \cot (\frac{x}{2})) + \csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 4 \cot (\frac{x}{2}))$ 에서 $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 3 x \cot (\frac{x}{2}) - 4 \cot (\frac{x}{2})) + \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot - 3}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 20.4.5

$\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 3 x \cot (\frac{x}{2}) - 4 \cot (\frac{x}{2})) + \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot - 3$ 에서 $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 3 x \cot (\frac{x}{2}) - 4 \cot (\frac{x}{2}) - 3)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 20.5

$- 3 x \cot (\frac{x}{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- (3 x \cot (\frac{x}{2})) - 4 \cot (\frac{x}{2}) - 3)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 20.6

$- 4 \cot (\frac{x}{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- (3 x \cot (\frac{x}{2})) - (4 \cot (\frac{x}{2})) - 3)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 20.7

$- (3 x \cot (\frac{x}{2})) - (4 \cot (\frac{x}{2}))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- (3 x \cot (\frac{x}{2}) + 4 \cot (\frac{x}{2})) - 3)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 20.8

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- (3 x \cot (\frac{x}{2}) + 4 \cot (\frac{x}{2})) - 1 (3))}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 20.9

$- (3 x \cot (\frac{x}{2}) + 4 \cot (\frac{x}{2})) - 1 (3)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- (3 x \cot (\frac{x}{2}) + 4 \cot (\frac{x}{2}) + 3))}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 20.10

$- (3 x \cot (\frac{x}{2}) + 4 \cot (\frac{x}{2}) + 3)$ 을 $- 1 (3 x \cot (\frac{x}{2}) + 4 \cot (\frac{x}{2}) + 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 1 (3 x \cot (\frac{x}{2}) + 4 \cot (\frac{x}{2}) + 3))}{{(3 x + 4)}^{2}}$

단계 20.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x \cot (\frac{x}{2}) + 4 \cot (\frac{x}{2}) + 3)}{{(3 x + 4)}^{2}}$