미적분 예제

$y = \tan (x \sin (x))$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\tan (x \sin (x)))$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = \tan (x)$ , $g (x) = x \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x \sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

단계 3.1.2

$\tan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u)$ 입니다.

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $x \sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\sec^{2} (x \sin (x)) \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

단계 3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sec^{2} (x \sin (x)) (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\sec^{2} (x \sin (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.4.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sec^{2} (x \sin (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

단계 3.4.2

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sec^{2} (x \sin (x)) (x \cos (x) + \sin (x))$

단계 3.5

간단히 합니다.

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단계 3.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\sec^{2} (x \sin (x)) (x \cos (x)) + \sec^{2} (x \sin (x)) \sin (x)$

단계 3.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$x \sec^{2} (x \sin (x)) \cos (x) + \sec^{2} (x \sin (x)) \sin (x)$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = x \sec^{2} (x \sin (x)) \cos (x) + \sec^{2} (x \sin (x)) \sin (x)$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = x \sec^{2} (x \sin (x)) \cos (x) + \sec^{2} (x \sin (x)) \sin (x)$