미적분 예제

$\sin (2 x) - \tan (x) - x$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\sin (2 x) - \tan (x) - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.1.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.5

$\cos (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \tan (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 입니다.

$2 \cos (2 x) - \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 3.2

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$2 \cos (2 x) - \sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 4

$\frac{d}{d x} [- x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \cos (2 x) - \sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cos (2 x) - \sec^{2} (x) - 1 \cdot 1$

단계 4.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \cos (2 x) - \sec^{2} (x) - 1$

단계 5

항을 다시 정렬합니다.

$- 1 + 2 \cos (2 x) - \sec^{2} (x)$