미적분 예제

${(x^{2} + y^{2} - 1)}^{3} - x^{2} y^{3} = 0$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} ({(x^{2} + y^{2} - 1)}^{3} - x^{2} y^{3}) = \frac{d}{d x} (0)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 ${(x^{2} + y^{2} - 1)}^{3} - x^{2} y^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2} - 1)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2} - 1)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2} - 1)}^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x^{2} + y^{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{2} + y^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} - 1] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$

단계 2.2.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} - 1] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$

단계 2.2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{2} + y^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} - 1] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$

단계 2.2.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + y^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$

단계 2.2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$

단계 2.2.4

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$

단계 2.2.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$

단계 2.2.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$

단계 2.2.5

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$

단계 2.2.6

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + 2 y y' + 0) + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$

단계 2.2.7

$2 x + 2 y y'$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + 2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2} y^{3}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ 입니다.

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + 2 y y') - \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

단계 2.3.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + 2 y y') - (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 2.3.3

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + 2 y y') - (x^{2} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 2.3.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 는 $n {u_{3}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + 2 y y') - (x^{2} (3 {u_{3}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 2.3.3.3

$u_{3}$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + 2 y y') - (x^{2} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 2.3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + 2 y y') - (x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 2.3.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + 2 y y') - (x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} (2 x))$

단계 2.3.6

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + 2 y y') - (3 \cdot x^{2} y^{2} y' + y^{3} (2 x))$

단계 2.3.7

$y^{3}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + 2 y y') - (3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x)$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + 2 y y') - (3 x^{2} y^{2} y') - (2 y^{3} x)$

단계 2.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x) + 3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 y y') - (3 x^{2} y^{2} y') - (2 y^{3} x)$

단계 2.4.3

항을 묶습니다.

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단계 2.4.3.1

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} x + 3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 y y') - (3 x^{2} y^{2} y') - (2 y^{3} x)$

단계 2.4.3.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} x + 6 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (y y') - (3 x^{2} y^{2} y') - (2 y^{3} x)$

단계 2.4.3.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$6 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} x + 6 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (y y') - 3 (x^{2} y^{2} y') - (2 y^{3} x)$

단계 2.4.3.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$6 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} x + 6 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (y y') - 3 x^{2} y^{2} y' - 2 y^{3} x$

단계 2.4.4

항을 다시 정렬합니다.

$6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 6 y {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} y' - 3 x^{2} y^{2} y' - 2 y^{3} x$

단계 3

$0$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $0$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $0$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 6 y {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} y' - 3 x^{2} y^{2} y' - 2 y^{3} x = 0$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

$6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 6 y {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} y' - 3 x^{2} y^{2} y' - 2 y^{3} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 6 y y' {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} - 3 x^{2} y^{2} y' - 2 y^{3} x = 0$

단계 5.2

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 5.2.1

방정식의 양변에서 $6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}$ 를 뺍니다.

$6 y y' {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} - 3 x^{2} y^{2} y' - 2 y^{3} x = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}$

단계 5.2.2

방정식의 양변에 $2 y^{3} x$ 를 더합니다.

$6 y y' {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} - 3 x^{2} y^{2} y' = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

단계 5.3

$6 y y' {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} - 3 x^{2} y^{2} y'$ 에서 $3 y y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.1

$6 y y' {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}$ 에서 $3 y y'$ 를 인수분해합니다.

$3 y y' (2 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}) - 3 x^{2} y^{2} y' = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

단계 5.3.2

$- 3 x^{2} y^{2} y'$ 에서 $3 y y'$ 를 인수분해합니다.

$3 y y' (2 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}) + 3 y y' (- x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

단계 5.3.3

$3 y y' (2 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}) + 3 y y' (- x^{2} y)$ 에서 $3 y y'$ 를 인수분해합니다.

$3 y y' (2 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

단계 5.4

${(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}$ 을 $(x^{2} + y^{2} - 1) (x^{2} + y^{2} - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$3 y y' (2 ((x^{2} + y^{2} - 1) (x^{2} + y^{2} - 1)) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

단계 5.5

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(x^{2} + y^{2} - 1) (x^{2} + y^{2} - 1)$ 를 전개합니다.

$3 y y' (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + x^{2} \cdot - 1 + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

단계 5.6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.6.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.6.1.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 y y' (2 (x^{2 + 2} + x^{2} y^{2} + x^{2} \cdot - 1 + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

단계 5.6.1.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$3 y y' (2 (x^{4} + x^{2} y^{2} + x^{2} \cdot - 1 + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

단계 5.6.2

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$3 y y' (2 (x^{4} + x^{2} y^{2} - 1 x^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

단계 5.6.3

$- 1 x^{2}$ 을 $- x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 y y' (2 (x^{4} + x^{2} y^{2} - x^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

단계 5.6.4

지수를 더하여 $y^{2}$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.6.4.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 y y' (2 (x^{4} + x^{2} y^{2} - x^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2 + 2} + y^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

단계 5.6.4.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$3 y y' (2 (x^{4} + x^{2} y^{2} - x^{2} + y^{2} x^{2} + y^{4} + y^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

단계 5.6.5

$y^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$3 y y' (2 (x^{4} + x^{2} y^{2} - x^{2} + y^{2} x^{2} + y^{4} - 1 y^{2} - 1 x^{2} - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

단계 5.6.6

$- 1 y^{2}$ 을 $- y^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 y y' (2 (x^{4} + x^{2} y^{2} - x^{2} + y^{2} x^{2} + y^{4} - y^{2} - 1 x^{2} - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

단계 5.6.7

$- 1 x^{2}$ 을 $- x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 y y' (2 (x^{4} + x^{2} y^{2} - x^{2} + y^{2} x^{2} + y^{4} - y^{2} - x^{2} - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

단계 5.6.8

$- 1 y^{2}$ 을 $- y^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 y y' (2 (x^{4} + x^{2} y^{2} - x^{2} + y^{2} x^{2} + y^{4} - y^{2} - x^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

단계 5.6.9

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 y y' (2 (x^{4} + x^{2} y^{2} - x^{2} + y^{2} x^{2} + y^{4} - y^{2} - x^{2} - y^{2} + 1) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

단계 5.7

$x^{2} y^{2}$ 를 $y^{2} x^{2}$ 에 더합니다.

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단계 5.7.1

$y^{2}$ 와 $x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$3 y y' (2 (x^{4} - x^{2} + x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} + y^{4} - y^{2} - x^{2} - y^{2} + 1) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

단계 5.7.2

$x^{2} y^{2}$ 를 $x^{2} y^{2}$ 에 더합니다.

$3 y y' (2 (x^{4} - x^{2} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} - y^{2} - x^{2} - y^{2} + 1) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

단계 5.8

$- x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$3 y y' (2 (x^{4} - 2 x^{2} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} - y^{2} - y^{2} + 1) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

단계 5.9

$- y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 을 뺍니다.

$3 y y' (2 (x^{4} - 2 x^{2} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} - 2 y^{2} + 1) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

단계 5.10

분배 법칙을 적용합니다.

$3 y y' (2 x^{4} + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (2 x^{2} y^{2}) + 2 y^{4} + 2 (- 2 y^{2}) + 2 \cdot 1 - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

단계 5.11

간단히 합니다.

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단계 5.11.1

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 y y' (2 x^{4} - 4 x^{2} + 2 (2 x^{2} y^{2}) + 2 y^{4} + 2 (- 2 y^{2}) + 2 \cdot 1 - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

단계 5.11.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 y y' (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 (x^{2} y^{2}) + 2 y^{4} + 2 (- 2 y^{2}) + 2 \cdot 1 - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

단계 5.11.3

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 y y' (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 (x^{2} y^{2}) + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 \cdot 1 - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

단계 5.11.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 y y' (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 (x^{2} y^{2}) + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

단계 5.12

괄호를 제거합니다.

$3 y y' (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

단계 5.13

$3 y y' (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$ 의 각 항을 $3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.13.1

$3 y y' (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$ 의 각 항을 $3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)$ 로 나눕니다.

$\frac{3 y y' (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)} = \frac{- 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)} + \frac{2 y^{3} x}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}$

단계 5.13.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.13.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.13.2.1.1

공약수로 약분합니다.

단계 5.13.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y y' (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}{y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)} = \frac{- 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)} + \frac{2 y^{3} x}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}$

단계 5.13.2.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.13.2.2.1

공약수로 약분합니다.

단계 5.13.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}{2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y} = \frac{- 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)} + \frac{2 y^{3} x}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}$

단계 5.13.2.3

$2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.13.2.3.1

공약수로 약분합니다.

단계 5.13.2.3.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)} + \frac{2 y^{3} x}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}$

단계 5.13.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.13.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{- 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}$

단계 5.13.3.2

$- 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.13.3.2.1

$- 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 x (- 3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}) + 2 y^{3} x}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}$

단계 5.13.3.2.2

$2 y^{3} x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 x (- 3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}) + 2 x (y^{3})}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}$

단계 5.13.3.2.3

$2 x (- 3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}) + 2 x (y^{3})$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 x (- 3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + y^{3})}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}$

단계 5.13.3.3

$- 3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 x (- (3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}) + y^{3})}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}$

단계 5.13.3.4

$y^{3}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 x (- (3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}) - 1 (- y^{3}))}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}$

단계 5.13.3.5

$- (3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}) - 1 (- y^{3})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 x (- (3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} - y^{3}))}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}$

단계 5.13.3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 5.13.3.6.1

$- (3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} - y^{3})$ 을 $- 1 (3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} - y^{3})$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{2 x (- 1 (3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} - y^{3}))}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}$

단계 5.13.3.6.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{(2 x) (3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} - y^{3})}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}$

단계 5.13.3.6.3

$- \frac{(2 x) (3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} - y^{3})}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = - \frac{2 x (3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} - y^{3})}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x (3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} - y^{3})}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}$