미적분 예제

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} + 3 x}{4 (x + 3)}$

단계 1

$\frac{1}{4}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} + 3 x}{x + 3}$

단계 2

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 2.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to - 3} x^{2} + 3 x}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

단계 2.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 2.1.2.1

$x$ 가 $- 3$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to - 3} x^{2} + lim_{x \to - 3} 3 x}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

단계 2.1.2.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + lim_{x \to - 3} 3 x}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

단계 2.1.2.3

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

단계 2.1.2.4

$x$ 가 있는 모든 곳에 $- 3$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 2.1.2.4.1

$x$ 에 $- 3$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(- 3)}^{2} + 3 lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

단계 2.1.2.4.2

$x$ 에 $- 3$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(- 3)}^{2} + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

단계 2.1.2.5

답을 간단히 합니다.

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단계 2.1.2.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.1.2.5.1.1

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{9 + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

단계 2.1.2.5.1.2

$3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{9 - 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

단계 2.1.2.5.2

$9$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

단계 2.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 2.1.3.1

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1.3.1.1

$x$ 가 $- 3$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3}$

단계 2.1.3.1.2

$x$ 가 $- 3$ 에 가까워질 때 상수값 $3$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

단계 2.1.3.2

$x$ 에 $- 3$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{- 3 + 3}$

단계 2.1.3.3

$- 3$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

단계 2.1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

단계 2.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

단계 2.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} + 3 x}{x + 3} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

단계 2.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 2.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

단계 2.3.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 3 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

단계 2.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

단계 2.3.4

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.4.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

단계 2.3.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

단계 2.3.4.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

단계 2.3.5

합의 법칙에 의해 $x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]}$

단계 2.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{1 + \frac{d}{d x} [3]}$

단계 2.3.7

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{1 + 0}$

단계 2.3.8

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{1}$

단계 2.4

$2 x + 3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} 2 x + 3$

단계 3

극한값을 계산합니다.

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단계 3.1

$x$ 가 $- 3$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{4} (lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 3)$

단계 3.2

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{4} (2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3)$

단계 3.3

$x$ 가 $- 3$ 에 가까워질 때 상수값 $3$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{4} (2 lim_{x \to - 3} x + 3)$

단계 4

$x$ 에 $- 3$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{4} (2 \cdot - 3 + 3)$

단계 5

답을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (- 6 + 3)$

단계 5.2

$- 6$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{1}{4} \cdot - 3$

단계 5.3

$\frac{1}{4}$ 와 $- 3$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3}{4}$

단계 5.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{4}$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{3}{4}$

소수 형태:

$- 0.75$