미적분 예제

$y = \frac{1}{2} \tan (2 x)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{2} \cdot \tan (2 x)$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

단계 1.2

$f (x) = \tan (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 1.2.2

$\tan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u)$ 입니다.

$\frac{1}{2} (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

$\sec^{2} (2 x)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{2} (2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.3.3

항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.3.1

$2$ 와 $\frac{\sec^{2} (2 x)}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.3.2.2

$\sec^{2} (2 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sec^{2} (2 x) \cdot 1$

단계 1.3.5

$\sec^{2} (2 x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sec^{2} (2 x)$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sec (2 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\sec (2 x)$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

단계 2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 u_{1} \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

단계 2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\sec (2 x)$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

단계 2.2

$f (x) = \sec (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\frac{d}{d u (2)} (\sec (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x))$

단계 2.2.2

$\sec (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ 입니다.

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x))$

단계 2.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

단계 2.3

$\sec (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

단계 2.4

$\sec (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

단계 2.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 2 {\sec (2 x)}^{1 + 1} (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

단계 2.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (2 x) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

단계 2.7

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.8

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \cdot 1$

단계 2.10

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\sec^{2} (2 x) = 0$

단계 4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$\sec (2 x) = \pm \sqrt{0}$

단계 5

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sec (2 x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 5.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\sec (2 x) = \pm 0$

단계 5.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$\sec (2 x) = 0$

단계 6

시컨트의 범위는 $y \leq - 1$ 과 $y \geq 1$ 입니다. $0$ 이 이 영역에 속하지 않으므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 7

$x =$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$4 \sec^{2} (2) \tan (2)$

단계 8

이차 미분값을 구합니다.

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단계 8.1

$\sec (2)$ 의 값을 구합니다.

$4 \cdot {1.00060954}^{2} \tan (2)$

단계 8.2

$1.00060954$ 를 $2$ 승 합니다.

$4 \cdot 1.00121946 \tan (2)$

단계 8.3

$4$ 에 $1.00121946$ 을 곱합니다.

$4.00487784 \tan (2)$

단계 8.4

$\tan (2)$ 의 값을 구합니다.

$4.00487784 \cdot 0.03492076$

단계 8.5

$4.00487784$ 에 $0.03492076$ 을 곱합니다.

$0.13985341$

단계 9

이계도함수가 양수이므로 $x =$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x =$ 은 극소값입니다.

단계 10

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot \tan (2 x)$ 에 대한 극값입니다.

$(, i s a (l o c a l) (m i n i m u m))$ 은 극솟값임

단계 11