미적분 예제

$\int 20 x^{3} \sec (5 x^{4} - 1) \tan (5 x^{4} - 1) d x$

단계 1

$20$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $20$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$20 \int x^{3} \sec (5 x^{4} - 1) \tan (5 x^{4} - 1) d x$

단계 2

먼저 $u = 5 x^{4} - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 20 x^{3} d x$ 이므로 $\frac{1}{20} d u = x^{3} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = 5 x^{4} - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$5 x^{4} - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [5 x^{4} - 1]$

단계 2.1.2

합의 법칙에 의해 $5 x^{4} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.3.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{4}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.1.3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.1.3.3

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.4.1

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$20 x^{3} + 0$

단계 2.1.4.2

$20 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$20 x^{3}$

단계 2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$20 \int \sec (u) \tan (u) \frac{1}{20} d u$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{20}$ 와 $\sec (u)$ 을 묶습니다.

$20 \int \frac{\sec (u)}{20} \tan (u) d u$

단계 3.2

$\frac{\sec (u)}{20}$ 와 $\tan (u)$ 을 묶습니다.

$20 \int \frac{\sec (u) \tan (u)}{20} d u$

단계 4

$\frac{1}{20}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{20}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$20 (\frac{1}{20} \int \sec (u) \tan (u) d u)$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{20}$ 와 $20$ 을 묶습니다.

$\frac{20}{20} \int \sec (u) \tan (u) d u$

단계 5.2

$20$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{20}{20} \int \sec (u) \tan (u) d u$

단계 5.2.2

수식을 다시 씁니다.

$1 \int \sec (u) \tan (u) d u$

단계 5.3

$\int \sec (u) \tan (u) d u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \sec (u) \tan (u) d u$

단계 6

$\sec (u)$ 의 도함수는 $\sec (u) \tan (u)$ 이므로, $\sec (u) \tan (u)$ 의 적분값은 $\sec (u)$ 이 됩니다.

$\sec (u) + C$

단계 7

$u$ 를 모두 $5 x^{4} - 1$ 로 바꿉니다.

$\sec (5 x^{4} - 1) + C$