미적분 예제

$\int 2 \sqrt{x} \sqrt{1 + {(\frac{1}{\sqrt{x}})}^{2}} d x$

단계 1

간단히 합니다.

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단계 1.1

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{1}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

단계 1.2

$\frac{1}{\sqrt{x}}$ 에 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 을 곱합니다.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

단계 1.3

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$\frac{1}{\sqrt{x}}$ 에 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 을 곱합니다.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

단계 1.3.2

$\sqrt{x}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

단계 1.3.3

$\sqrt{x}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}})}^{2}) x} d x$

단계 1.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}})}^{2}) x} d x$

단계 1.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}})}^{2}) x} d x$

단계 1.3.6

${\sqrt{x}}^{2}$ 을 $x$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 1.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}) x} d x$

단계 1.3.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}) x} d x$

단계 1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

단계 1.3.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

단계 1.3.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{1}})}^{2}) x} d x$

단계 1.3.6.5

간단히 합니다.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x})}^{2}) x} d x$

단계 1.4

$\frac{\sqrt{x}}{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

단계 1.5

${\sqrt{x}}^{2}$ 을 $x$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

단계 1.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}) x} d x$

단계 1.5.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

단계 1.5.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

단계 1.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{1}}{x^{2}}) x} d x$

단계 1.5.5

간단히 합니다.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x}{x^{2}}) x} d x$

단계 1.6

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.6.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{1}}{x^{2}}) x} d x$

단계 1.6.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 1}{x^{2}}) x} d x$

단계 1.6.3

공약수로 약분합니다.

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단계 1.6.3.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}) x} d x$

단계 1.6.3.2

공약수로 약분합니다.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}) x} d x$

단계 1.6.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{1}{x}) x} d x$

단계 1.7

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\int 2 \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{1}{x}) x} d x$

단계 1.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int 2 \sqrt{\frac{x + 1}{x} x} d x$

단계 1.9

$\frac{x + 1}{x}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\int 2 \sqrt{\frac{(x + 1) x}{x}} d x$

단계 1.10

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.10.1

공약수로 약분합니다.

$\int 2 \sqrt{\frac{(x + 1) x}{x}} d x$

단계 1.10.2

$x + 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\int 2 \sqrt{x + 1} d x$

단계 2

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int \sqrt{x + 1} d x$

단계 3

먼저 $u = x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.1

$u = x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 3.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 3.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 3.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$2 \int \sqrt{u} d u$

단계 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$2 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ 을 $2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$2$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 6.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 7

$u$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{4}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$