미적분 예제

$\int \frac{a + b x^{2}}{\sqrt{3 a x + b x^{3}}} d a$

단계 1

먼저 $u = 3 a x + b x^{3}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 x d a$ 이므로 $\frac{1}{3 x} d u = d a$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 3 a x + b x^{3}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d a}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$3 a x + b x^{3}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d a} [3 a x + b x^{3}]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $3 a x + b x^{3}$ 를 $a$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d a} [3 a x] + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d a} [3 a x] + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d a} [3 a x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$3 x$ 은 $a$ 에 대해 일정하므로 $a$ 에 대한 $3 a x$ 의 미분은 $3 x \frac{d}{d a} [a]$ 입니다.

$3 x \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 는 $n a^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x \cdot 1 + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

단계 1.1.3.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 x + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.4.1

$b x^{3}$ 이 $a$ 에 대해 일정하므로, $b x^{3}$ 를 $a$ 에 대해 미분하면 $b x^{3}$ 입니다.

$3 x + 0$

단계 1.1.4.2

$3 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 x$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{\frac{u}{3 x} - \frac{b x^{2}}{3} + b x^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $b x^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{\frac{u}{3 x} - \frac{b x^{2}}{3} + b x^{2} \cdot \frac{3}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

단계 2.2

$b x^{2}$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\frac{u}{3 x} - \frac{b x^{2}}{3} + \frac{b x^{2} \cdot 3}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

단계 2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{- b x^{2} + b x^{2} \cdot 3}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

단계 2.4

$b x^{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\int \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{- b x^{2} + 3 \cdot (b x^{2})}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

단계 2.5

$- b x^{2}$ 를 $3 b x^{2}$ 에 더합니다.

$\int \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

단계 2.6

$\frac{\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3}}{\sqrt{u}}$ 에 $\frac{3 x}{3 x}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{3 x}{3 x} \cdot \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3}}{\sqrt{u}} \frac{1}{3 x} d u$

단계 2.7

조합합니다.

$\int \frac{3 x (\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3})}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

단계 2.8

분배 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{3 x \frac{u}{3 x} + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

단계 2.9

$3 x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.9.1

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{3 x \frac{u}{3 x} + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

단계 2.9.2

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{u + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

단계 2.10

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.10.1

$3 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{u + 3 (x) \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

단계 2.10.2

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{u + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

단계 2.10.3

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{u + x (2 b x^{2})}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

단계 2.11

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \frac{u + 2 b (x^{1} x^{2})}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

단계 2.12

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int \frac{u + 2 b x^{1 + 2}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

단계 2.13

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

단계 2.14

$\frac{u + 2 b x^{3}}{3 x \sqrt{u}}$ 에 $\frac{1}{3 x}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{3 x \sqrt{u} (3 x)} d u$

단계 2.15

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 x \sqrt{u} x} d u$

단계 2.16

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 (x^{1} x) \sqrt{u}} d u$

단계 2.17

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 (x^{1} x^{1}) \sqrt{u}} d u$

단계 2.18

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 x^{1 + 1} \sqrt{u}} d u$

단계 2.19

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 x^{2} \sqrt{u}} d u$

단계 3

$\frac{1}{9 x^{2}}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{9 x^{2}}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int \frac{u + 2 b x^{3}}{\sqrt{u}} d u$

단계 4

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int \frac{u + 2 b x^{3}}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

단계 4.2

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

단계 4.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

단계 4.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

단계 4.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 5

$(u + 2 b x^{3}) u^{- \frac{1}{2}}$ 을 전개합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 5.2

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 5.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{1 - \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 5.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 5.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{\frac{2 - 1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 5.6

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{\frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 5.7

$u^{\frac{1}{2}}$ 와 $2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} + u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{9 x^{2}} (\int 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

단계 7

$2 b x^{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $2 b x^{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

$\frac{2}{3}$ 와 $u^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$

단계 10.2

간단히 합니다.

$\frac{1}{9 x^{2}} (4 b x^{3} u^{\frac{1}{2}} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

단계 11

$u$ 를 모두 $3 a x + b x^{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{9 x^{2}} (4 b x^{3} {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

단계 12

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{9 x^{2}} (4 b x^{3} {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{3}{2}}) + C$