미적분 예제

$y = \ln (2 t^{4} e^{- t})$

단계 1

$f (t) = \ln (t)$ , $g (t) = 2 t^{4} e^{- t}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 t^{4} e^{- t}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t^{4} e^{- t}]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [2 t^{4} e^{- t}]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 t^{4} e^{- t}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2 t^{4} e^{- t}} \frac{d}{d t} [2 t^{4} e^{- t}]$

단계 2

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t^{4} e^{- t}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}]$ 입니다.

$\frac{1}{2 t^{4} e^{- t}} (2 \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}])$

단계 2.2

항을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{2 t^{4} e^{- t}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2 t^{4} e^{- t}} \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}]$

단계 2.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{2 t^{4} e^{- t}} \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}]$

단계 2.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}]$

단계 3

$f (t) = t^{4}$ , $g (t) = e^{- t}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} \frac{d}{d t} [e^{- t}] + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

단계 4

$f (t) = e^{t}$ , $g (t) = - t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- t$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

단계 4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $- t$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- t$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

단계 5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{- t} (- 1 \cdot 1)) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

단계 5.3

식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{- t} \cdot - 1) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

단계 5.3.2

$e^{- t}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (- 1 \cdot e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

단계 5.3.3

$- 1 e^{- t}$ 을 $- e^{- t}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (- e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

단계 5.4

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (- e^{- t}) + e^{- t} (4 t^{3}))$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (- e^{- t})) + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

단계 6.2

항을 묶습니다.

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단계 6.2.1

$t^{4}$ 와 $\frac{1}{t^{4} e^{- t}}$ 을 묶습니다.

$\frac{t^{4}}{t^{4} e^{- t}} (- e^{- t}) + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

단계 6.2.2

$\frac{t^{4}}{t^{4} e^{- t}}$ 와 $e^{- t}$ 을 묶습니다.

$- \frac{t^{4} e^{- t}}{t^{4} e^{- t}} + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

단계 6.2.3

$t^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{t^{4} e^{- t}}{t^{4} e^{- t}} + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

단계 6.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

단계 6.2.4

$e^{- t}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

단계 6.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$- 1 \cdot 1 + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

단계 6.2.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1 + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

단계 6.2.6

$e^{- t}$ 와 $\frac{1}{t^{4} e^{- t}}$ 을 묶습니다.

$- 1 + \frac{e^{- t}}{t^{4} e^{- t}} (4 t^{3})$

단계 6.2.7

$4$ 와 $\frac{e^{- t}}{t^{4} e^{- t}}$ 을 묶습니다.

$- 1 + \frac{4 e^{- t}}{t^{4} e^{- t}} t^{3}$

단계 6.2.8

$\frac{4 e^{- t}}{t^{4} e^{- t}}$ 와 $t^{3}$ 을 묶습니다.

$- 1 + \frac{4 e^{- t} t^{3}}{t^{4} e^{- t}}$

단계 6.2.9

$e^{- t}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.9.1

공약수로 약분합니다.

$- 1 + \frac{4 e^{- t} t^{3}}{t^{4} e^{- t}}$

단계 6.2.9.2

수식을 다시 씁니다.

$- 1 + \frac{4 t^{3}}{t^{4}}$

단계 6.2.10

$t^{3}$ 및 $t^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.10.1

$4 t^{3}$ 에서 $t^{3}$ 를 인수분해합니다.

$- 1 + \frac{t^{3} \cdot 4}{t^{4}}$

단계 6.2.10.2

공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.10.2.1

$t^{4}$ 에서 $t^{3}$ 를 인수분해합니다.

$- 1 + \frac{t^{3} \cdot 4}{t^{3} t}$

단계 6.2.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$- 1 + \frac{t^{3} \cdot 4}{t^{3} t}$

단계 6.2.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 1 + \frac{4}{t}$

단계 6.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{4}{t} - 1$