미적분 예제

$y = x^{2} e^{x} - x e^{x}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x} - x e^{x})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} e^{x} - x e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$

단계 3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$

단계 3.2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x e^{x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 입니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

단계 3.3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

단계 3.3.5

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - (x e^{x} + e^{x})$

단계 3.4

간단히 합니다.

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단계 3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - (x e^{x}) - e^{x}$

단계 3.4.2

항을 묶습니다.

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단계 3.4.2.1

$e^{x} (2 x)$ 에서 $x e^{x}$ 을 뺍니다.

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단계 3.4.2.1.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - x e^{x} - e^{x}$

단계 3.4.2.1.2

$2 x e^{x}$ 에서 $x e^{x}$ 을 뺍니다.

$x^{2} e^{x} + 1 x e^{x} - e^{x}$

단계 3.4.2.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} e^{x} + x e^{x} - e^{x}$

단계 3.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$e^{x} x^{2} + e^{x} x - e^{x}$

단계 3.4.4

$e^{x} x^{2} + e^{x} x - e^{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x^{2} e^{x} + x e^{x} - e^{x}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = x^{2} e^{x} + x e^{x} - e^{x}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} e^{x} + x e^{x} - e^{x}$