미적분 예제

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$

단계 1

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}} d x$

단계 4

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = \tan (t)$ 라고 하면 $d x = \sec^{2} (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $\sec^{2} (t)$ 는 양수입니다.

$\int \frac{1}{\tan (t) \sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

단계 5

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int \frac{1}{\tan (t) \sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

단계 5.1.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int \frac{1}{\tan (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

단계 5.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$\sec (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$\tan (t) \sec (t)$ 에서 $\sec (t)$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

단계 5.2.1.2

$\sec^{2} (t)$ 에서 $\sec (t)$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

단계 5.2.1.3

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

단계 5.2.1.4

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{1}{\tan (t)} \sec (t) d t$

단계 5.2.2

$\frac{1}{\tan (t)}$ 와 $\sec (t)$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

단계 5.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$\tan (t)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

단계 5.2.3.2

$\sec (t)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

단계 5.2.3.3

$\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

단계 5.2.3.4

$\cos (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

단계 5.2.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{1}{\sin (t)} d t$

단계 5.2.3.5

$\frac{1}{\sin (t)}$ 을 $\csc (t)$ 로 변환합니다.

$\int \csc (t) d t$

단계 6

$\csc (t)$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ 입니다.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

단계 7

$t$ 를 모두 $\arctan (x)$ 로 바꿉니다.

$\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + C$

단계 8

답은 함수 $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + C$