미적분 예제

$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x + 1}} d x$

단계 1

먼저 $u = x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 1.2

$u = x + 1$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 0 + 1$

단계 1.3

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 1.4

$u = x + 1$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1 + 1$

단계 1.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 2$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{2} \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

단계 2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int_{1}^{2} \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

단계 2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int_{1}^{2} (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

단계 2.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int_{1}^{2} (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

단계 2.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\int_{1}^{2} (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

단계 2.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int_{1}^{2} (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 3

$(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ 을 전개합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int_{1}^{2} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 3.2

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{1}^{2} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int_{1}^{2} u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 3.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\int_{1}^{2} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int_{1}^{2} u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 3.6

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 4

$- 1 u^{- \frac{1}{2}}$ 을 $- u^{- \frac{1}{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} - u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{1}^{2} - u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 7

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2} - (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{2})$

단계 9

대입하여 간단히 합니다.

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단계 9.1

$2$ , $1$ 일 때, $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{2})$

단계 9.2

$2$ , $1$ 일 때, $2 u^{\frac{1}{2}}$ 값을 계산합니다.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 9.3

간단히 합니다.

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단계 9.3.1

$\frac{2}{3}$ 와 $2^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 9.3.2

지수를 더하여 $2$ 에 $2^{\frac{3}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 9.3.2.1

$2$ 에 $2^{\frac{3}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 9.3.2.1.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 9.3.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 9.3.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 9.3.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 9.3.2.4

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 9.3.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 9.3.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 9.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 9.3.6

지수를 더하여 $2$ 에 $2^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 9.3.6.1

$2$ 에 $2^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 9.3.6.1.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 9.3.6.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{1 + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 9.3.6.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 9.3.6.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 9.3.6.4

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 9.3.7

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1)$

단계 9.3.8

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{3}{2}} - 2)$

단계 9.3.9

공통 분모를 가지는 분수로 $- (2^{\frac{3}{2}} - 2)$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{3}{2}} - 2) \cdot \frac{3}{3}$

단계 9.3.10

$- (2^{\frac{3}{2}} - 2)$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} + \frac{- (2^{\frac{3}{2}} - 2) \cdot 3}{3}$

단계 9.3.11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2 - (2^{\frac{3}{2}} - 2) \cdot 3}{3}$

단계 9.3.12

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2 - 3 (2^{\frac{3}{2}} - 2)}{3}$

단계 10

분자를 간단히 합니다.

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단계 10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2 - 3 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 3 \cdot - 2}{3}$

단계 10.2

$- 3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2 - 3 \cdot 2^{\frac{3}{2}} + 6}{3}$

단계 10.3

$- 2$ 를 $6$ 에 더합니다.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} + 4 - 3 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3}$

단계 11

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{2^{\frac{5}{2}} + 4 - 3 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3}$

소수 형태:

$0.39052429 \dots$

단계 12