미적분 예제

$f (x) = \frac{2}{5} x^{5} + 5 x^{4} + 16 x^{3} - 15$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{2}{5} x^{5} + 5 x^{4} + 16 x^{3} - 15$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$\frac{2}{5}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2}{5} x^{5}$ 의 미분은 $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

단계 1.2.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

단계 1.2.3

$5$ 와 $\frac{2}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

단계 1.2.4

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

단계 1.2.5

$\frac{10}{5}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

단계 1.2.6

$10$ 및 $5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.6.1

$10 x^{4}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

단계 1.2.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.6.2.1

$5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

단계 1.2.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

단계 1.2.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

단계 1.2.6.2.4

$2 x^{4}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{4}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$2 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

단계 1.3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

단계 1.3.3

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$16$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $16 x^{3}$ 의 미분은 $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

단계 1.4.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 15]$

단계 1.4.3

$3$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 15]$

단계 1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.5.1

$- 15$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 15$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 15$ 입니다.

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} + 0$

단계 1.5.2

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{4}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

단계 2.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

단계 2.2.3

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 8 x^{3} + \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$20$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $20 x^{3}$ 의 미분은 $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = 8 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

단계 2.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 8 x^{3} + 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

단계 2.3.3

$3$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 8 x^{3} + 60 x^{2} + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$48$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $48 x^{2}$ 의 미분은 $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = 8 x^{3} + 60 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} (x^{2})$

단계 2.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 8 x^{3} + 60 x^{2} + 48 (2 x)$

단계 2.4.3

$2$ 에 $48$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 8 x^{3} + 60 x^{2} + 96 x$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{5} x^{5}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$\frac{2}{5}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2}{5} x^{5}$ 의 미분은 $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$f' (x) = \frac{2}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

단계 4.1.2.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{2}{5} \cdot (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

단계 4.1.2.3

$5$ 와 $\frac{2}{5}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

단계 4.1.2.4

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

단계 4.1.2.5

$\frac{10}{5}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

단계 4.1.2.6

$10$ 및 $5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.1.2.6.1

$10 x^{4}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{5 (2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

단계 4.1.2.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.6.2.1

$5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{5 (2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

단계 4.1.2.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = \frac{5 (2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

단계 4.1.2.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

단계 4.1.2.6.2.4

$2 x^{4}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (x) = 2 x^{4} + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1.3.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{4}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$f' (x) = 2 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

단계 4.1.3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 2 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

단계 4.1.3.3

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

단계 4.1.4

$\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

$16$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $16 x^{3}$ 의 미분은 $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f' (x) = 2 x^{4} + 20 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

단계 4.1.4.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 2 x^{4} + 20 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

단계 4.1.4.3

$3$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 15)$

단계 4.1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.5.1

$- 15$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 15$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 15$ 입니다.

$f' (x) = 2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} + 0$

단계 4.1.5.2

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ 입니다.

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} = 0$ 을 풉니다.

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단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

단계 5.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 5.2.1

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.1.1

$2 x^{4}$ 에서 $2 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 x^{2} (x^{2}) + 20 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

단계 5.2.1.2

$20 x^{3}$ 에서 $2 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x) + 48 x^{2} = 0$

단계 5.2.1.3

$48 x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x) + 2 x^{2} (24) = 0$

단계 5.2.1.4

$2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x)$ 에서 $2 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 x^{2} (x^{2} + 10 x) + 2 x^{2} (24) = 0$

단계 5.2.1.5

$2 x^{2} (x^{2} + 10 x) + 2 x^{2} (24)$ 에서 $2 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 x^{2} (x^{2} + 10 x + 24) = 0$

단계 5.2.2

인수분해합니다.

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단계 5.2.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 10 x + 24$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $24$ 이고 합은 $10$ 입니다.

$4, 6$

단계 5.2.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$2 x^{2} ((x + 4) (x + 6)) = 0$

단계 5.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$2 x^{2} (x + 4) (x + 6) = 0$

단계 5.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} = 0$

$x + 4 = 0$

$x + 6 = 0$

단계 5.4

$x^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.4.1

$x^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} = 0$

단계 5.4.2

$x^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 5.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.4.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 5.4.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 5.4.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 5.5

$x + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.5.1

$x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 4 = 0$

단계 5.5.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 5.6

$x + 6$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.6.1

$x + 6$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 6 = 0$

단계 5.6.2

방정식의 양변에서 $6$ 를 뺍니다.

$x = - 6$

단계 5.7

$2 x^{2} (x + 4) (x + 6) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 4, - 6$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = 0, - 4, - 6$

단계 8

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$8 {(0)}^{3} + 60 {(0)}^{2} + 96 (0)$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

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단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 9.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$8 \cdot 0 + 60 {(0)}^{2} + 96 (0)$

단계 9.1.2

$8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 60 {(0)}^{2} + 96 (0)$

단계 9.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 + 60 \cdot 0 + 96 (0)$

단계 9.1.4

$60$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0 + 96 (0)$

단계 9.1.5

$96$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0 + 0$

단계 9.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 + 0$

단계 9.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0$

단계 10

$0$ 는 점이 한 개 이상이거나 2차 도함수가 정의되어 있지 않으므로 1차 도함수 판정을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \infty)$

단계 10.2

1차 도함수 $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ 의 $(- \infty, - 6)$ 구간에서 $- 8$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 8$ 을 대입합니다.

$f' (- 8) = 2 {(- 8)}^{4} + 20 {(- 8)}^{3} + 48 {(- 8)}^{2}$

단계 10.2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1.1

$- 8$ 를 $4$ 승 합니다.

$f' (- 8) = 2 \cdot 4096 + 20 {(- 8)}^{3} + 48 {(- 8)}^{2}$

단계 10.2.2.1.2

$2$ 에 $4096$ 을 곱합니다.

$f' (- 8) = 8192 + 20 {(- 8)}^{3} + 48 {(- 8)}^{2}$

단계 10.2.2.1.3

$- 8$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (- 8) = 8192 + 20 \cdot - 512 + 48 {(- 8)}^{2}$

단계 10.2.2.1.4

$20$ 에 $- 512$ 을 곱합니다.

$f' (- 8) = 8192 - 10240 + 48 {(- 8)}^{2}$

단계 10.2.2.1.5

$- 8$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 8) = 8192 - 10240 + 48 \cdot 64$

단계 10.2.2.1.6

$48$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$f' (- 8) = 8192 - 10240 + 3072$

단계 10.2.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.2.1

$8192$ 에서 $10240$ 을 뺍니다.

$f' (- 8) = - 2048 + 3072$

단계 10.2.2.2.2

$- 2048$ 를 $3072$ 에 더합니다.

$f' (- 8) = 1024$

단계 10.2.2.3

최종 답은 $1024$ 입니다.

$1024$

단계 10.3

1차 도함수 $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ 의 $(- 6, - 4)$ 구간에서 $- 5$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 5$ 을 대입합니다.

$f' (- 5) = 2 {(- 5)}^{4} + 20 {(- 5)}^{3} + 48 {(- 5)}^{2}$

단계 10.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.1.1

$- 5$ 를 $4$ 승 합니다.

$f' (- 5) = 2 \cdot 625 + 20 {(- 5)}^{3} + 48 {(- 5)}^{2}$

단계 10.3.2.1.2

$2$ 에 $625$ 을 곱합니다.

$f' (- 5) = 1250 + 20 {(- 5)}^{3} + 48 {(- 5)}^{2}$

단계 10.3.2.1.3

$- 5$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (- 5) = 1250 + 20 \cdot - 125 + 48 {(- 5)}^{2}$

단계 10.3.2.1.4

$20$ 에 $- 125$ 을 곱합니다.

$f' (- 5) = 1250 - 2500 + 48 {(- 5)}^{2}$

단계 10.3.2.1.5

$- 5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 5) = 1250 - 2500 + 48 \cdot 25$

단계 10.3.2.1.6

$48$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$f' (- 5) = 1250 - 2500 + 1200$

단계 10.3.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.2.1

$1250$ 에서 $2500$ 을 뺍니다.

$f' (- 5) = - 1250 + 1200$

단계 10.3.2.2.2

$- 1250$ 를 $1200$ 에 더합니다.

$f' (- 5) = - 50$

단계 10.3.2.3

최종 답은 $- 50$ 입니다.

$- 50$

단계 10.4

1차 도함수 $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ 의 $(- 4, 0)$ 구간에서 $- 2$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f' (- 2) = 2 {(- 2)}^{4} + 20 {(- 2)}^{3} + 48 {(- 2)}^{2}$

단계 10.4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.2.1.1

$- 2$ 를 $4$ 승 합니다.

$f' (- 2) = 2 \cdot 16 + 20 {(- 2)}^{3} + 48 {(- 2)}^{2}$

단계 10.4.2.1.2

$2$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = 32 + 20 {(- 2)}^{3} + 48 {(- 2)}^{2}$

단계 10.4.2.1.3

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (- 2) = 32 + 20 \cdot - 8 + 48 {(- 2)}^{2}$

단계 10.4.2.1.4

$20$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = 32 - 160 + 48 {(- 2)}^{2}$

단계 10.4.2.1.5

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 2) = 32 - 160 + 48 \cdot 4$

단계 10.4.2.1.6

$48$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = 32 - 160 + 192$

단계 10.4.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.2.2.1

$32$ 에서 $160$ 을 뺍니다.

$f' (- 2) = - 128 + 192$

단계 10.4.2.2.2

$- 128$ 를 $192$ 에 더합니다.

$f' (- 2) = 64$

단계 10.4.2.3

최종 답은 $64$ 입니다.

$64$

단계 10.5

1차 도함수 $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ 의 $(0, \infty)$ 구간에서 $2$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f' (2) = 2 {(2)}^{4} + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

단계 10.5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.2.1.1

지수를 더하여 $2$ 에 ${(2)}^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.2.1.1.1

$2$ 에 ${(2)}^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.2.1.1.1.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (2) = 2 {(2)}^{4} + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

단계 10.5.2.1.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (2) = 2^{1 + 4} + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

단계 10.5.2.1.1.2

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f' (2) = 2^{5} + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

단계 10.5.2.1.2

$2$ 를 $5$ 승 합니다.

$f' (2) = 32 + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

단계 10.5.2.1.3

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (2) = 32 + 20 \cdot 8 + 48 {(2)}^{2}$

단계 10.5.2.1.4

$20$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f' (2) = 32 + 160 + 48 {(2)}^{2}$

단계 10.5.2.1.5

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (2) = 32 + 160 + 48 \cdot 4$

단계 10.5.2.1.6

$48$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (2) = 32 + 160 + 192$

단계 10.5.2.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.2.2.1

$32$ 를 $160$ 에 더합니다.

$f' (2) = 192 + 192$

단계 10.5.2.2.2

$192$ 를 $192$ 에 더합니다.

$f' (2) = 384$

단계 10.5.2.3

최종 답은 $384$ 입니다.

$384$

단계 10.6

1차 도함수의 부호가 $x = - 6$ 근처에서 양수에서 음수로 변경되었으므로 $x = - 6$ 은 극댓값입니다.

$x = - 6$ 은 극대값입니다

단계 10.7

1차 도함수의 부호가 $x = - 4$ 근처에서 음수에서 양수로 변경되었으므로 $x = - 4$ 은 극솟값입니다.

$x = - 4$ 은 극소값입니다.

단계 10.8

1차 도함수의 부호가 $x = 0$ 근처에서 변하지 않았으므로 극솟값도 극댓값도 아닙니다.

극댓값 또는 극솟값이 아님

단계 10.9

$f (x) = \frac{2}{5} x^{5} + 5 x^{4} + 16 x^{3} - 15$ 에 대한 극값입니다.

$x = - 6$ 은 극대값입니다

$x = - 4$ 은 극소값입니다.

$x = - 6$ 은 극대값입니다

$x = - 4$ 은 극소값입니다.

단계 11