미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{{(3 x - 1)}^{5} + 1}{5 x}$

단계 1

$\frac{1}{5}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{{(3 x - 1)}^{5} + 1}{x}$

단계 2

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(3 x - 1)}^{5} + 1}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(3 x - 1)}^{5} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.1.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 ${(3 x - 1)}^{5}$ 의 지수 $5$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 3 x - 1)}^{5} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.1.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 3 x - lim_{x \to 0} 1)}^{5} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.1.4

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(3 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1)}^{5} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.1.5

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(3 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1)}^{5} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.1.6

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(3 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1)}^{5} + 1}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(3 \cdot 0 - 1 \cdot 1)}^{5} + 1}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.1.1.1

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(0 - 1 \cdot 1)}^{5} + 1}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.3.1.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(0 - 1)}^{5} + 1}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.3.1.2

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(- 1)}^{5} + 1}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.3.1.3

$- 1$ 를 $5$ 승 합니다.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 1 + 1}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.3.2

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

단계 2.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

단계 2.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{{(3 x - 1)}^{5} + 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{5} + 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 2.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{5} + 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.2

합의 법칙에 의해 ${(3 x - 1)}^{5} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.3

$\frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{5}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.3.1

$f (x) = x^{5}$ , $g (x) = 3 x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [3 x - 1] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.3.1.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 u^{4} \frac{d}{d x} [3 x - 1] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.3.1.3

$u$ 를 모두 $3 x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 {(3 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x - 1] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.3.2

합의 법칙에 의해 $3 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 {(3 x - 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.3.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 {(3 x - 1)}^{4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 {(3 x - 1)}^{4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.3.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 {(3 x - 1)}^{4} (3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.3.6

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 {(3 x - 1)}^{4} (3 + 0) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.3.7

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 {(3 x - 1)}^{4} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.3.8

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{15 {(3 x - 1)}^{4} + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{15 {(3 x - 1)}^{4} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.5

$15 {(3 x - 1)}^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{15 {(3 x - 1)}^{4}}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{15 {(3 x - 1)}^{4}}{1}$

단계 2.4

$15 {(3 x - 1)}^{4}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} 15 {(3 x - 1)}^{4}$

단계 3

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$15$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{5} \cdot 15 lim_{x \to 0} {(3 x - 1)}^{4}$

단계 3.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 ${(3 x - 1)}^{4}$ 의 지수 $4$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{5} \cdot 15 {(lim_{x \to 0} 3 x - 1)}^{4}$

단계 3.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{5} \cdot 15 {(lim_{x \to 0} 3 x - lim_{x \to 0} 1)}^{4}$

단계 3.4

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{5} \cdot 15 {(3 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1)}^{4}$

단계 3.5

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{5} \cdot 15 {(3 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1)}^{4}$

단계 4

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{5} \cdot 15 {(3 \cdot 0 - 1 \cdot 1)}^{4}$

단계 5

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$15$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{5} \cdot (5 (3)) {(3 \cdot 0 - 1 \cdot 1)}^{4}$

단계 5.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{5} \cdot (5 \cdot 3) {(3 \cdot 0 - 1 \cdot 1)}^{4}$

단계 5.1.3

수식을 다시 씁니다.

$3 {(3 \cdot 0 - 1 \cdot 1)}^{4}$

단계 5.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$3 {(0 - 1 \cdot 1)}^{4}$

단계 5.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 {(0 - 1)}^{4}$

단계 5.3

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$3 {(- 1)}^{4}$

단계 5.4

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$3 \cdot 1$

단계 5.5

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$