미적분 예제

$\int \frac{5}{{(1 - x)}^{2}} d x$

단계 1

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 \int \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} d x$

단계 2

먼저 $u = 1 - x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = 1 - x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

다시 씁니다.

$\frac{- 1}{1}$

단계 2.1.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1$

단계 2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$5 \int \frac{- 1}{u^{2}} d u$

단계 3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$5 \int - \frac{1}{u^{2}} d u$

단계 4

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 (- \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

단계 5

식을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 5 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

단계 5.2

$u^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$- 5 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

단계 5.3

${(u^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 5 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

단계 5.3.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 5 \int u^{- 2} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{- 2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- u^{- 1}$ 가 됩니다.

$- 5 (- u^{- 1} + C)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 5 (- u^{- 1} + C)$ 을 $- 5 (- \frac{1}{u}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- 5 (- \frac{1}{u}) + C$

단계 7.2

간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$5 \frac{1}{u} + C$

단계 7.2.2

$5$ 와 $\frac{1}{u}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{u} + C$

단계 8

$u$ 를 모두 $1 - x$ 로 바꿉니다.

$\frac{5}{1 - x} + C$