미적분 예제

$f (x) = {\begin{cases} \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x + 3} & x \neq - 3 \\ 9 & x = - 3 \end{cases}$

단계 1

$x$ 가 $- 3$ 으로 한없이 가까워질 때 $\frac{x^{2} + 6 x + 9}{x + 3}$ 의 극한을 구합니다.

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단계 1.1

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} + 6 x + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

단계 1.1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.1.2.1

$x$ 가 $- 3$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} + lim_{x \to - 3} 6 x + lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

단계 1.1.1.2.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + lim_{x \to - 3} 6 x + lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

단계 1.1.1.2.3

$6$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

단계 1.1.1.2.4

$x$ 가 $- 3$ 에 가까워질 때 상수값 $9$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

단계 1.1.1.2.5

$x$ 가 있는 모든 곳에 $- 3$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.1.2.5.1

$x$ 에 $- 3$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{{(- 3)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

단계 1.1.1.2.5.2

$x$ 에 $- 3$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{{(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3 + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

단계 1.1.1.2.6

답을 간단히 합니다.

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단계 1.1.1.2.6.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.1.2.6.1.1

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{9 + 6 \cdot - 3 + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

단계 1.1.1.2.6.1.2

$6$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{9 - 18 + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

단계 1.1.1.2.6.2

$9$ 에서 $18$ 을 뺍니다.

$\frac{- 9 + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

단계 1.1.1.2.6.3

$- 9$ 를 $9$ 에 더합니다.

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

단계 1.1.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.1.3.1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.1.3.1.1

$x$ 가 $- 3$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3}$

단계 1.1.1.3.1.2

$x$ 가 $- 3$ 에 가까워질 때 상수값 $3$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

단계 1.1.1.3.2

$x$ 에 $- 3$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{- 3 + 3}$

단계 1.1.1.3.3

$- 3$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x + 3} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

단계 1.1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

단계 1.1.3.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 6 x + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

단계 1.1.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

단계 1.1.3.4

$\frac{d}{d x} [6 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.4.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

단계 1.1.3.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

단계 1.1.3.4.3

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6 + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

단계 1.1.3.5

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

단계 1.1.3.6

$2 x + 6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

단계 1.1.3.7

합의 법칙에 의해 $x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]}$

단계 1.1.3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{1 + \frac{d}{d x} [3]}$

단계 1.1.3.9

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{1 + 0}$

단계 1.1.3.10

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{1}$

단계 1.1.4

$2 x + 6$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to - 3} 2 x + 6$

단계 1.2

극한값을 계산합니다.

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단계 1.2.1

$x$ 가 $- 3$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6$

단계 1.2.2

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6$

단계 1.2.3

$x$ 가 $- 3$ 에 가까워질 때 상수값 $6$ 의 극한을 구합니다.

$2 lim_{x \to - 3} x + 6$

단계 1.3

$x$ 에 $- 3$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$2 \cdot - 3 + 6$

단계 1.4

답을 간단히 합니다.

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단계 1.4.1

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$- 6 + 6$

단계 1.4.2

$- 6$ 를 $6$ 에 더합니다.

$0$

단계 2

수식에서 변수 $x$ 에 $- 3$ 을 대입합니다.

$9$

단계 3

$x$ 이 $- 3$ 에 수렴할 때 $\frac{x^{2} + 6 x + 9}{x + 3}$ 의 극한이 $x = - 3$ 에서의 함수 값과 같지 않으므로 함수는 $x = - 3$ 에서 연속이 아닙니다.

불연속임

단계 4