미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) e^{\sin (2 x)} d x$

단계 1

먼저 $u_{2} = \sin (2 x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u_{2} = \sin (2 x)$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\sin (2 x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

단계 1.1.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.1.2.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.1.3

미분합니다.

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단계 1.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

단계 1.1.3.3

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.3.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (2 x) \cdot 2$

단계 1.1.3.3.2

$\cos (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cos (2 x)$

단계 1.2

$u_{2} = \sin (2 x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \sin (2 \cdot 0)$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = \sin (0)$

단계 1.3.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u_{2} = \sin (2 x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{4})$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.1.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

단계 1.5.1.2

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

단계 1.5.1.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

단계 1.5.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{upper} = 1$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

단계 1.7

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{1} e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 2

$e^{u_{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{1} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

단계 4

$e^{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{2} e^{u_{2}}]_{0}^{1}$

단계 5

대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$1$ , $0$ 일 때, $e^{u_{2}}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} ((e^{1}) - e^{0})$

단계 5.2

간단히 합니다.

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단계 5.2.1

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} (e - e^{0})$

단계 5.2.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2} (e - 1 \cdot 1)$

단계 5.2.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (e - 1)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} e + \frac{1}{2} \cdot - 1$

단계 6.2

$\frac{1}{2}$ 와 $e$ 을 묶습니다.

$\frac{e}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

단계 6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{e}{2} + \frac{- 1}{2}$

단계 6.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

소수 형태:

$0.85914091 \dots$