미적분 예제

$y = \frac{3}{\sin (x) + \cos (x)}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3}{\sin (x) + \cos (x)})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3}{\sin (x) + \cos (x)}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$

단계 3.1.2

$\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$ 을 ${(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 \frac{d}{d x} [{(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}]$

단계 3.2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\sin (x) + \cos (x)$ 로 바꿉니다.

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

단계 3.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $\sin (x) + \cos (x)$ 로 바꿉니다.

$3 (- {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

단계 3.3

합의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 ({(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

단계 3.3.2

합의 법칙에 의해 $\sin (x) + \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 가 됩니다.

$- 3 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 3.4

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$- 3 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 3.5

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- 3 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) - \sin (x))$

단계 3.6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 3 \frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

단계 3.7

간단히 합니다.

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단계 3.7.1

항을 묶습니다.

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단계 3.7.1.1

$- 3$ 와 $\frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

단계 3.7.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

단계 3.7.2

$- \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- (\cos (x) - \sin (x)) \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - (\cos (x) - \sin (x)) \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - (\cos (x) - \sin (x)) \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$