미적분 예제

$y = 5 x \sqrt{x^{2} + 1}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{2} + 1}$ 을(를) ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = 5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

단계 3

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 4.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$5 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.8

분수를 통분합니다.

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단계 4.8.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.8.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$5 (x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.8.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$5 (x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.8.4

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$5 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.9

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$5 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.10

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.11

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$5 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.12

분수를 통분합니다.

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단계 4.12.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.12.2

$2$ 와 $\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$5 (\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.12.3

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$5 (\frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.13

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$5 (\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.14

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$5 (\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.15

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$5 (\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.16

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 4.16.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$5 (\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.16.2

공약수로 약분합니다.

$5 (\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.16.3

수식을 다시 씁니다.

$5 (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.17

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

단계 4.18

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

단계 4.19

공통 분모를 가지는 분수로 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$5 (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

단계 4.20

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$5 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.21

지수를 더하여 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 4.21.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$5 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.21.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$5 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.21.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$5 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.21.4

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$5 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.22

${(x^{2} + 1)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$5 \frac{x^{2} + x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.23

$x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$5 \frac{2 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.24

$5$ 와 $\frac{2 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{5 (2 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{5 (2 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 (2 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$