미적분 예제

$y = x^{2} {(2 x^{3} - 1)}^{3}$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = {(2 x^{3} - 1)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} - 1)}^{3}] + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = 2 x^{3} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x^{3} - 1$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $2 x^{3} - 1$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.4

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (6 x^{2} + 0)) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$6 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (6 x^{2})) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.6.2

$6$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x^{2} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2} x^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$x^{2} x^{2} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{2 + 2} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} (2 x)$

단계 6

${(2 x^{3} - 1)}^{3}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + 2 \cdot {(2 x^{3} - 1)}^{3} x$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + 2 {(2 x^{3} - 1)}^{3} x$ 에서 $x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.1.1

$x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2})$ 에서 $x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9)) + 2 {(2 x^{3} - 1)}^{3} x$

단계 7.1.2

$2 {(2 x^{3} - 1)}^{3} x$ 에서 $x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9)) + x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (2 x^{3} - 1)$

단계 7.1.3

$x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9)) + x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (2 x^{3} - 1)$ 에서 $x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9) + 2 x^{3} - 1)$

단계 7.2

항을 묶습니다.

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단계 7.2.1

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot x {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9) + 2 x^{3} - 1)$

단계 7.2.2

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$2 x {(2 x^{3} - 1)}^{2} (9 \cdot x^{3} + 2 x^{3} - 1)$

단계 7.2.3

$9 x^{3}$ 를 $2 x^{3}$ 에 더합니다.

$2 x {(2 x^{3} - 1)}^{2} (11 x^{3} - 1)$

단계 7.3

${(2 x^{3} - 1)}^{2}$ 을 $(2 x^{3} - 1) (2 x^{3} - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x ((2 x^{3} - 1) (2 x^{3} - 1)) (11 x^{3} - 1)$

단계 7.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(2 x^{3} - 1) (2 x^{3} - 1)$ 를 전개합니다.

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단계 7.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x (2 x^{3} (2 x^{3} - 1) - 1 (2 x^{3} - 1)) (11 x^{3} - 1)$

단계 7.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x (2 x^{3} (2 x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3} - 1)) (11 x^{3} - 1)$

단계 7.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x (2 x^{3} (2 x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

단계 7.5

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 7.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.5.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 x (2 \cdot 2 x^{3} x^{3} + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

단계 7.5.1.2

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 7.5.1.2.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$2 x (2 \cdot 2 (x^{3} x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

단계 7.5.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 x (2 \cdot 2 x^{3 + 3} + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

단계 7.5.1.2.3

$3$ 를 $3$ 에 더합니다.

$2 x (2 \cdot 2 x^{6} + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

단계 7.5.1.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 x (4 x^{6} + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

단계 7.5.1.4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 x (4 x^{6} - 2 x^{3} - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

단계 7.5.1.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 x (4 x^{6} - 2 x^{3} - 2 x^{3} - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

단계 7.5.1.6

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 x (4 x^{6} - 2 x^{3} - 2 x^{3} + 1) (11 x^{3} - 1)$

단계 7.5.2

$- 2 x^{3}$ 에서 $2 x^{3}$ 을 뺍니다.

$2 x (4 x^{6} - 4 x^{3} + 1) (11 x^{3} - 1)$

단계 7.6

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 x (4 x^{6}) + 2 x (- 4 x^{3}) + 2 x \cdot 1) (11 x^{3} - 1)$

단계 7.7

간단히 합니다.

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단계 7.7.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(2 \cdot 4 x \cdot x^{6} + 2 x (- 4 x^{3}) + 2 x \cdot 1) (11 x^{3} - 1)$

단계 7.7.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(2 \cdot 4 x \cdot x^{6} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x \cdot 1) (11 x^{3} - 1)$

단계 7.7.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(2 \cdot 4 x \cdot x^{6} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

단계 7.8

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.8.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{6}$ 을 곱합니다.

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단계 7.8.1.1

$x^{6}$ 를 옮깁니다.

$(2 \cdot 4 (x^{6} x) + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

단계 7.8.1.2

$x^{6}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 7.8.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$(2 \cdot 4 (x^{6} x^{1}) + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

단계 7.8.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(2 \cdot 4 x^{6 + 1} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

단계 7.8.1.3

$6$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(2 \cdot 4 x^{7} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

단계 7.8.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

단계 7.8.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 7.8.3.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 (x^{3} x) + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

단계 7.8.3.2

$x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 7.8.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 (x^{3} x^{1}) + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

단계 7.8.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 x^{3 + 1} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

단계 7.8.3.3

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 x^{4} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

단계 7.8.4

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$(8 x^{7} - 8 x^{4} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

단계 7.9

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(8 x^{7} - 8 x^{4} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$ 를 전개합니다.

$8 x^{7} (11 x^{3}) + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

단계 7.10

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.10.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$8 \cdot 11 x^{7} x^{3} + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

단계 7.10.2

지수를 더하여 $x^{7}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.10.2.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$8 \cdot 11 (x^{3} x^{7}) + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

단계 7.10.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$8 \cdot 11 x^{3 + 7} + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

단계 7.10.2.3

$3$ 를 $7$ 에 더합니다.

$8 \cdot 11 x^{10} + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

단계 7.10.3

$8$ 에 $11$ 을 곱합니다.

$88 x^{10} + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

단계 7.10.4

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

단계 7.10.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 \cdot 11 x^{4} x^{3} - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

단계 7.10.6

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.10.6.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 \cdot 11 (x^{3} x^{4}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

단계 7.10.6.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 \cdot 11 x^{3 + 4} - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

단계 7.10.6.3

$3$ 를 $4$ 에 더합니다.

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 \cdot 11 x^{7} - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

단계 7.10.7

$- 8$ 에 $11$ 을 곱합니다.

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

단계 7.10.8

$- 1$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

단계 7.10.9

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 x \cdot x^{3} + 2 x \cdot - 1$

단계 7.10.10

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.10.10.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 (x^{3} x) + 2 x \cdot - 1$

단계 7.10.10.2

$x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.10.10.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 (x^{3} x^{1}) + 2 x \cdot - 1$

단계 7.10.10.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 x^{3 + 1} + 2 x \cdot - 1$

단계 7.10.10.3

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 x^{4} + 2 x \cdot - 1$

단계 7.10.11

$2$ 에 $11$ 을 곱합니다.

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 22 x^{4} + 2 x \cdot - 1$

단계 7.10.12

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 22 x^{4} - 2 x$

단계 7.11

$- 8 x^{7}$ 에서 $88 x^{7}$ 을 뺍니다.

$88 x^{10} - 96 x^{7} + 8 x^{4} + 22 x^{4} - 2 x$

단계 7.12

$8 x^{4}$ 를 $22 x^{4}$ 에 더합니다.

$88 x^{10} - 96 x^{7} + 30 x^{4} - 2 x$