미적분 예제

$\sqrt{\frac{1}{x}}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{\frac{1}{x}}$ 을(를) ${(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = \frac{1}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{1}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $\frac{1}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 7

식을 간단히 합니다.

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단계 7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 7.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 8

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- x^{- 2})$

단계 9

분수를 통분합니다.

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단계 9.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- 2}$ 을 묶습니다.

${(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- \frac{x^{- 2}}{2})$

단계 9.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

${(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{2}})$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

밑을 역수로 만들어 지수의 부호를 바꿉니다.

$x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{2}})$

단계 10.2

항을 묶습니다.

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단계 10.2.1

$x^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{1}{2 x^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{2}}$

단계 10.2.2

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{1}{2 x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

단계 10.2.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 10.2.3.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$- \frac{1}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})}$

단계 10.2.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{1}{2 x^{- \frac{1}{2} + 2}}$

단계 10.2.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2 x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

단계 10.2.3.4

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

단계 10.2.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

단계 10.2.3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 10.2.3.6.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

단계 10.2.3.6.2

$- 1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$