미적분 예제

$f (x) = 3 x^{2} \sin (x^{3} + 2003)$

단계 1

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int 3 x^{2} \sin (x^{3} + 2003) d x$

단계 3

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \int x^{2} \sin (x^{3} + 2003) d x$

단계 4

먼저 $u = x^{3} + 2003$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 x^{2} d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u = x^{3} + 2003$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x^{3} + 2003$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 2003]$

단계 4.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{3} + 2003$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2003]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2003]$

단계 4.1.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2003]$

단계 4.1.4

$2003$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2003$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2003$ 입니다.

$3 x^{2} + 0$

단계 4.1.5

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 x^{2}$

단계 4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$3 \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

단계 5

$\sin (u)$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$3 \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

단계 6

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{3} \int \sin (u) d u$

단계 7.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3}{3} \int \sin (u) d u$

단계 7.2.2

수식을 다시 씁니다.

$1 \int \sin (u) d u$

단계 7.3

$\int \sin (u) d u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \sin (u) d u$

단계 8

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u)$ 입니다.

$- \cos (u) + C$

단계 9

$u$ 를 모두 $x^{3} + 2003$ 로 바꿉니다.

$- \cos (x^{3} + 2003) + C$

단계 10

답은 함수 $f (x) = 3 x^{2} \sin (x^{3} + 2003)$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $- \cos (x^{3} + 2003) + C$