미적분 예제

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} d x$

단계 1

먼저 $u = 1 + \cos (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \sin (x) d x$ 이므로 $- d u = \sin (x) d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 1 + \cos (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$1 + \cos (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 + \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.1.3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$0 - \sin (x)$

단계 1.1.4

$0$ 에서 $\sin (x)$ 을 뺍니다.

$- \sin (x)$

단계 1.2

$u = 1 + \cos (x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 1 + \cos (0)$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{lower} = 1 + 1$

단계 1.3.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 2$

단계 1.4

$u = 1 + \cos (x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1 + \cos (π)$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.5.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$u_{upper} = 1 - \cos (0)$

단계 1.5.1.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

단계 1.5.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 1 - 1$

단계 1.5.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = 0$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 0$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{2}^{0} \frac{- 1}{u} d u$

단계 2

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$\int_{2}^{0} - \frac{1}{u} d u$

단계 3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{2}^{0} \frac{1}{u} d u$

단계 4

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$- (\ln (| u |)]_{2}^{0})$

단계 5

$0$ , $2$ 일 때, $\ln (| u |)$ 값을 계산합니다.

$- (\ln (| 0 |) - \ln (| 2 |))$

단계 6

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$- \ln (\frac{| 0 |}{| 2 |})$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $0$ 사이의 거리는 $0$ 입니다.

$- \ln (\frac{0}{| 2 |})$

단계 7.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $2$ 사이의 거리는 $2$ 입니다.

$- \ln (\frac{0}{2})$

단계 7.3

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$- \ln (0)$

단계 7.4

0의 자연로그는 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$- \ln (0)$

단계 8

0의 자연로그는 정의되지 않습니다.

정의되지 않음