미적분 예제

$\sum_{k = 1}^{20} 100 (k^{2} - 5 k + 1)$

단계 1

합을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$100 k^{2} + 100 (- 5 k) + 100 \cdot 1$

단계 1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$- 5$ 에 $100$ 을 곱합니다.

$100 k^{2} - 500 k + 100 \cdot 1$

단계 1.2.2

$100$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$100 k^{2} - 500 k + 100$

단계 1.3

합을 다시 씁니다.

$\sum_{k = 1}^{20} 100 k^{2} - 500 k + 100$

단계 2

합의 법칙이 성립되도록 합을 더 작은 크기의 부분합으로 나눕니다.

$\sum_{k = 1}^{20} 100 k^{2} - 500 k + 100 = 100 \sum_{k = 1}^{20} k^{2} - 500 \sum_{k = 1}^{20} k + \sum_{k = 1}^{20} 100$

단계 3

$100 \sum_{k = 1}^{20} k^{2}$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

차수가 $2$ 인 다항식의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

단계 3.2

공식에 값을 대입하고 첫째 항을 곱합니다.

$(100) (\frac{20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{6})$

단계 3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

$20$ 를 $1$ 에 더합니다.

$100 \frac{20 \cdot 21 (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

단계 3.3.1.2

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.2.1

$20$ 에 $21$ 을 곱합니다.

$100 \frac{420 (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

단계 3.3.1.2.2

$2$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$100 \frac{420 (40 + 1)}{6}$

단계 3.3.1.3

$40$ 를 $1$ 에 더합니다.

$100 \frac{420 \cdot 41}{6}$

단계 3.3.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$420$ 에 $41$ 을 곱합니다.

$100 (\frac{17220}{6})$

단계 3.3.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1

$100$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (50) \frac{17220}{6}$

단계 3.3.2.2.2

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \cdot 50 \frac{17220}{2 \cdot 3}$

단계 3.3.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot 50 \frac{17220}{2 \cdot 3}$

단계 3.3.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$50 (\frac{17220}{3})$

단계 3.3.2.3

$50$ 와 $\frac{17220}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{50 \cdot 17220}{3}$

단계 3.3.2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.4.1

$50$ 에 $17220$ 을 곱합니다.

$\frac{861000}{3}$

단계 3.3.2.4.2

$861000$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$287000$

단계 4

$500 \sum_{k = 1}^{20} k$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

차수가 $1$ 인 다항식의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

단계 4.2

공식에 값을 대입하고 첫째 항을 곱합니다.

$(- 500) (\frac{20 (20 + 1)}{2})$

단계 4.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.1

$20$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 500 \frac{20 \cdot 21}{2}$

단계 4.3.1.2

$20$ 에 $21$ 을 곱합니다.

$- 500 (\frac{420}{2})$

단계 4.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$- 500$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- 250) \frac{420}{2}$

단계 4.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot - 250 \frac{420}{2}$

단계 4.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 250 \cdot 420$

단계 4.3.3

$- 250$ 에 $420$ 을 곱합니다.

$- 105000$

단계 5

$\sum_{k = 1}^{20} 100$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

상수의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

단계 5.2

공식에 값을 대입합니다.

$(100) (20)$

단계 5.3

$100$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$2000$

단계 6

합계 결과를 더합니다.

$287000 - 105000 + 2000$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$287000$ 에서 $105000$ 을 뺍니다.

$182000 + 2000$

단계 7.2

$182000$ 를 $2000$ 에 더합니다.

$184000$