미적분 예제

$\int \frac{x^{3}}{x + 3} d x$

단계 1

먼저 $u = x + 3$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = x + 3$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$x + 3$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

단계 1.1.4

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$1 + 0$

단계 1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{{(u - 3)}^{3}}{u} d u$

단계 2

이항정리 이용

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 3 + 3 u {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{u} d u$

단계 3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 3 + 3 u (- 3 \cdot - 3) + {(- 3)}^{3}}{u} d u$

단계 3.2

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 3 + 3 u (- 3 \cdot - 3) - 3 {(- 3)}^{2}}{u} d u$

단계 3.3

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 3 + 3 u (- 3 \cdot - 3) - 3 (- 3 \cdot - 3)}{u} d u$

단계 3.4

$u^{2}$ 를 옮깁니다.

$\int \frac{u^{3} + 3 \cdot - 3 u^{2} + 3 u (- 3 \cdot - 3) - 3 (- 3 \cdot - 3)}{u} d u$

단계 3.5

$u$ 를 옮깁니다.

$\int \frac{u^{3} + 3 \cdot - 3 u^{2} + 3 \cdot - 3 \cdot - 3 u - 3 (- 3 \cdot - 3)}{u} d u$

단계 3.6

$3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u^{3} - 9 u^{2} + 3 \cdot - 3 \cdot - 3 u - 3 \cdot - 3 \cdot - 3}{u} d u$

단계 3.7

$3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u^{3} - 9 u^{2} - 9 \cdot - 3 u - 3 \cdot - 3 \cdot - 3}{u} d u$

단계 3.8

$- 9$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u^{3} - 9 u^{2} + 27 u - 3 \cdot - 3 \cdot - 3}{u} d u$

단계 3.9

$- 3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u^{3} - 9 u^{2} + 27 u + 9 \cdot - 3}{u} d u$

단계 3.10

$9$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u^{3} - 9 u^{2} + 27 u - 27}{u} d u$

단계 4

$u^{3} - 9 u^{2} + 27 u - 27$ 을 $u$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$u$

$0$

$u^{3}$

$9 u^{2}$

$27 u$

$27$

단계 4.2

피제수 $u^{3}$ 의 고차항을 제수 $u$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$u^{2}$
	$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$

단계 4.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			+	$u^{3}$	+	$0$

단계 4.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $u^{3} + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$

단계 4.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$

단계 4.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$

단계 4.7

피제수 $- 9 u^{2}$ 의 고차항을 제수 $u$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$u^{2}$	-	$9 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$

단계 4.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$u^{2}$	-	$9 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					-	$9 u^{2}$	+	$0$

단계 4.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 9 u^{2} + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$u^{2}$	-	$9 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$

단계 4.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$u^{2}$	-	$9 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$
							+	$27 u$

단계 4.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$u^{2}$	-	$9 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$
							+	$27 u$	-	$27$

단계 4.12

피제수 $27 u$ 의 고차항을 제수 $u$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$u^{2}$	-	$9 u$	+	$27$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$
							+	$27 u$	-	$27$

단계 4.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$u^{2}$	-	$9 u$	+	$27$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$
							+	$27 u$	-	$27$
							+	$27 u$	+	$0$

단계 4.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $27 u + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$u^{2}$	-	$9 u$	+	$27$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$
							+	$27 u$	-	$27$
							-	$27 u$	-	$0$

단계 4.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$u^{2}$	-	$9 u$	+	$27$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$
							+	$27 u$	-	$27$
							-	$27 u$	-	$0$
									-	$27$

단계 4.16

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\int u^{2} - 9 u + 27 - \frac{27}{u} d u$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int u^{2} d u + \int - 9 u d u + \int 27 d u + \int - \frac{27}{u} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int - 9 u d u + \int 27 d u + \int - \frac{27}{u} d u$

단계 7

$- 9$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 9$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 \int u d u + \int 27 d u + \int - \frac{27}{u} d u$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} u^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{1}{2} u^{2} + C) + \int 27 d u + \int - \frac{27}{u} d u$

단계 9

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{1}{2} u^{2} + C) + 27 u + C + \int - \frac{27}{u} d u$

단계 10

$\frac{1}{2}$ 와 $u^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 27 u + C + \int - \frac{27}{u} d u$

단계 11

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 27 u + C - \int \frac{27}{u} d u$

단계 12

$27$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $27$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 27 u + C - (27 \int \frac{1}{u} d u)$

단계 13

$27$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 27 u + C - 27 \int \frac{1}{u} d u$

단계 14

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 27 u + C - 27 (\ln (| u |) + C)$

단계 15

간단히 합니다.

$\frac{u^{3}}{3} - \frac{9 u^{2}}{2} + 27 u - 27 \ln (| u |) + C$

단계 16

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{9}{2} u^{2} + 27 u - 27 \ln (| u |) + C$

단계 17

$u$ 를 모두 $x + 3$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} {(x + 3)}^{3} - \frac{9}{2} {(x + 3)}^{2} + 27 (x + 3) - 27 \ln (| x + 3 |) + C$