미적분 예제

$\int \frac{(x + 1) (x - 2)}{\sqrt{x}} d x$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \frac{(x + 1) (x - 2)}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 2

$x^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int (x + 1) (x - 2) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

단계 3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int (x + 1) (x - 2) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

단계 3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\int (x + 1) (x - 2) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

단계 3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int (x + 1) (x - 2) x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 4

$(x + 1) (x - 2) x^{- \frac{1}{2}}$ 을 전개합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (x (x - 2) + 1 (x - 2)) x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 (x - 2)) x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2) x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 4.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (x \cdot x + x \cdot - 2) x^{- \frac{1}{2}} + (1 x + 1 \cdot - 2) x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 4.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\int x \cdot x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + x \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} + (1 x + 1 \cdot - 2) x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 4.6

분배 법칙을 적용합니다.

$\int x \cdot x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + x \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 4.7

$x$ 와 $- 2$ 을 다시 정렬합니다.

$\int x \cdot x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 4.8

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int x^{1} x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 4.9

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int x^{1} x^{1} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 4.10

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int x^{1 + 1} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 4.11

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 4.12

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int x^{2 - \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 4.13

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\int x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 4.14

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\int x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 4.15

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 4.16

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.16.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int x^{\frac{4 - 1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 4.16.2

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 4.17

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 4.18

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{1 - \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 4.19

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 4.20

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 4.21

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 4.22

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 4.23

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x^{1} x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 4.24

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x^{1 - \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 4.25

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 4.26

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 4.27

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 4.28

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 4.29

$- 2 x^{\frac{1}{2}}$ 를 $x^{\frac{1}{2}}$ 에 더합니다.

$\int x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $x^{\frac{3}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 7

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 9

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

간단히 합니다.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

단계 11.2

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}} + C$