미적분 예제

$\int \frac{20 x}{\sqrt[3]{7 - 3 x^{2}}} d x$

단계 1

$20$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $20$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$20 \int \frac{x}{\sqrt[3]{7 - 3 x^{2}}} d x$

단계 2

먼저 $u = 7 - 3 x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 6 x d x$ 이므로 $- \frac{1}{6} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u = 7 - 3 x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$7 - 3 x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [7 - 3 x^{2}]$

단계 2.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $7 - 3 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

단계 2.1.2.2

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x^{2}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 3 (2 x)$

단계 2.1.3.3

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$0 - 6 x$

단계 2.1.4

$0$ 에서 $6 x$ 을 뺍니다.

$- 6 x$

단계 2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$20 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{- 6} d u$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$20 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} (- \frac{1}{6}) d u$

단계 3.2

$\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ 에 $\frac{1}{6}$ 을 곱합니다.

$20 \int - \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 6} d u$

단계 3.3

$\sqrt[3]{u}$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$20 \int - \frac{1}{6 \sqrt[3]{u}} d u$

단계 4

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$20 (- \int \frac{1}{6 \sqrt[3]{u}} d u)$

단계 5

$- 1$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$- 20 \int \frac{1}{6 \sqrt[3]{u}} d u$

단계 6

$\frac{1}{6}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{6}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 20 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

단계 7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$\frac{1}{6}$ 와 $- 20$ 을 묶습니다.

$\frac{- 20}{6} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

단계 7.1.2

$- 20$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.1

$- 20$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 10)}{6} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

단계 7.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

단계 7.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

단계 7.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 10}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

단계 7.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{10}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

단계 7.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$- \frac{10}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

단계 7.2.2

$u^{\frac{1}{3}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{10}{3} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

단계 7.2.3

${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{10}{3} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

단계 7.2.3.2

$\frac{1}{3}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$- \frac{10}{3} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

단계 7.2.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{10}{3} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{3}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ 가 됩니다.

$- \frac{10}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

단계 9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$- \frac{10}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ 을 $- \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

단계 9.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$\frac{3}{2}$ 에 $\frac{10}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{3 \cdot 10}{2 \cdot 3} u^{\frac{2}{3}} + C$

단계 9.2.2

$3$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$- \frac{30}{2 \cdot 3} u^{\frac{2}{3}} + C$

단계 9.2.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{30}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

단계 9.2.4

$30$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.4.1

$30$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{6 \cdot 5}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

단계 9.2.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.4.2.1

$6$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{6 \cdot 5}{6 (1)} u^{\frac{2}{3}} + C$

단계 9.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 1} u^{\frac{2}{3}} + C$

단계 9.2.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{5}{1} u^{\frac{2}{3}} + C$

단계 9.2.4.2.4

$5$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1 \cdot 5 u^{\frac{2}{3}} + C$

단계 9.2.5

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 5 u^{\frac{2}{3}} + C$

단계 10

$u$ 를 모두 $7 - 3 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- 5 {(7 - 3 x^{2})}^{\frac{2}{3}} + C$