미적분 예제

$- \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $- \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$- \frac{1}{10}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{1}{10} x^{5}$ 의 미분은 $- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

단계 1.2.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

단계 1.2.3

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 5 (\frac{1}{10}) x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

단계 1.2.4

$- 5$ 와 $\frac{1}{10}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

단계 1.2.5

$\frac{- 5}{10}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

단계 1.2.6

$- 5$ 및 $10$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.6.1

$- 5 x^{4}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (- x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

단계 1.2.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.6.2.1

$10$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (- x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

단계 1.2.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

단계 1.2.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

단계 1.2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x^{4}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$- \frac{x^{4}}{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

단계 1.3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{x^{4}}{2} - 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

단계 1.3.3

$4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- \frac{x^{4}}{2} - 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$- 12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 12 x^{3}$ 의 미분은 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$- \frac{x^{4}}{2} - 8 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.4.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{x^{4}}{2} - 8 x^{3} - 12 (3 x^{2})$

단계 1.4.3

$3$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - \frac{x^{4}}{2} - 8 x^{3} - 36 x^{2}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- \frac{x^{4}}{2} - 8 x^{3} - 36 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$- \frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{x^{4}}{2}$ 의 미분은 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

단계 2.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

단계 2.2.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

단계 2.2.4

$- 4$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

단계 2.2.5

$\frac{- 4}{2}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

단계 2.2.6

$- 4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.6.1

$- 4 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

단계 2.2.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.6.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

단계 2.2.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

단계 2.2.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

단계 2.2.6.2.4

$- 2 x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 8 x^{3}$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$- 2 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

단계 2.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

단계 2.3.3

$3$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$- 36$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 36 x^{2}$ 의 미분은 $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 36 (2 x)$

단계 2.4.3

$2$ 에 $- 36$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 2 x^{3} - 24 x^{2} - 72 x$