미적분 예제

$f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $- x^{3} + 3 x^{2} - 3 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{3}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 1.2.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 1.3.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 3 x^{2} + 6 x - 3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 x^{2} + 6 x - 3 \cdot 1$

단계 1.4.3

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 x^{2} + 6 x - 3$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- 3 x^{2} + 6 x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x^{2}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

단계 2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

단계 2.2.3

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = - 6 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

단계 2.3.3

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 6 x + 6 + \frac{d}{d x} (- 3)$

단계 2.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.1

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$f'' (x) = - 6 x + 6 + 0$

단계 2.4.2

$- 6 x + 6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - 6 x + 6$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- 3 x^{2} + 6 x - 3 = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1.1

합의 법칙에 의해 $- x^{3} + 3 x^{2} - 3 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{3}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 4.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 4.1.2.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 4.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 4.1.3.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 4.1.4

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1.4.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 3 x^{2} + 6 x - 3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 x^{2} + 6 x - 3 \cdot 1$

단계 4.1.4.3

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 6 x - 3$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 3 x^{2} + 6 x - 3$ 입니다.

$- 3 x^{2} + 6 x - 3$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 3 x^{2} + 6 x - 3 = 0$ 을 풉니다.

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단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- 3 x^{2} + 6 x - 3 = 0$

단계 5.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 5.2.1

$- 3 x^{2} + 6 x - 3$ 에서 $- 3$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.1.1

$- 3 x^{2}$ 에서 $- 3$ 를 인수분해합니다.

$- 3 x^{2} + 6 x - 3 = 0$

단계 5.2.1.2

$6 x$ 에서 $- 3$ 를 인수분해합니다.

$- 3 x^{2} - 3 (- 2 x) - 3 = 0$

단계 5.2.1.3

$- 3$ 에서 $- 3$ 를 인수분해합니다.

$- 3 x^{2} - 3 (- 2 x) - 3 \cdot 1 = 0$

단계 5.2.1.4

$- 3 (x^{2}) - 3 (- 2 x)$ 에서 $- 3$ 를 인수분해합니다.

$- 3 (x^{2} - 2 x) - 3 \cdot 1 = 0$

단계 5.2.1.5

$- 3 (x^{2} - 2 x) - 3 (1)$ 에서 $- 3$ 를 인수분해합니다.

$- 3 (x^{2} - 2 x + 1) = 0$

단계 5.2.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 5.2.2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 3 (x^{2} - 2 x + 1^{2}) = 0$

단계 5.2.2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

단계 5.2.2.3

다항식을 다시 씁니다.

$- 3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

단계 5.2.2.4

$a = x$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$- 3 {(x - 1)}^{2} = 0$

단계 5.3

$- 3 {(x - 1)}^{2} = 0$ 의 각 항을 $- 3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$- 3 {(x - 1)}^{2} = 0$ 의 각 항을 $- 3$ 로 나눕니다.

$\frac{- 3 {(x - 1)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1

$- 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 3 {(x - 1)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

단계 5.3.2.1.2

${(x - 1)}^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{- 3}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.3.1

$0$ 을 $- 3$ 로 나눕니다.

${(x - 1)}^{2} = 0$

단계 5.4

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 5.5

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = 1$

단계 8

$x = 1$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 6 \cdot 1 + 6$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

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단계 9.1

$- 6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 6 + 6$

단계 9.2

$- 6$ 를 $6$ 에 더합니다.

$0$

단계 10

$0$ 는 점이 한 개 이상이거나 2차 도함수가 정의되어 있지 않으므로 1차 도함수 판정을 적용합니다.

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단계 10.1

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

단계 10.2

1차 도함수 $- 3 x^{2} + 6 x - 3$ 의 $(- \infty, 1)$ 구간에서 $0$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

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단계 10.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f' (0) = - 3 {(0)}^{2} + 6 (0) - 3$

단계 10.2.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 10.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 10.2.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f' (0) = - 3 \cdot 0 + 6 (0) - 3$

단계 10.2.2.1.2

$- 3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f' (0) = 0 + 6 (0) - 3$

단계 10.2.2.1.3

$6$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f' (0) = 0 + 0 - 3$

단계 10.2.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 10.2.2.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (0) = 0 - 3$

단계 10.2.2.2.2

$0$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f' (0) = - 3$

단계 10.2.2.3

최종 답은 $- 3$ 입니다.

$- 3$

단계 10.3

1차 도함수 $- 3 x^{2} + 6 x - 3$ 의 $(1, \infty)$ 구간에서 $4$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

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단계 10.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f' (4) = - 3 {(4)}^{2} + 6 (4) - 3$

단계 10.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 10.3.2.1.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (4) = - 3 \cdot 16 + 6 (4) - 3$

단계 10.3.2.1.2

$- 3$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f' (4) = - 48 + 6 (4) - 3$

단계 10.3.2.1.3

$6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (4) = - 48 + 24 - 3$

단계 10.3.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 10.3.2.2.1

$- 48$ 를 $24$ 에 더합니다.

$f' (4) = - 24 - 3$

단계 10.3.2.2.2

$- 24$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f' (4) = - 27$

단계 10.3.2.3

최종 답은 $- 27$ 입니다.

$- 27$

단계 10.4

1차 도함수의 부호가 $x = 1$ 근처에서 변하지 않았으므로 극솟값도 극댓값도 아닙니다.

극댓값 또는 극솟값이 아님

단계 10.5

$f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x$ 에 대해 극댓값 또는 극솟값 없음.

극댓값 또는 극솟값 없음

단계 11