미적분 예제

$\int_{0}^{5} \frac{x}{x + 10} d x$

단계 1

$x$ 을 $x + 10$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$10$

$x$

$0$

단계 1.2

피제수 $x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$1$
	$x$	+	$10$		$x$	+	$0$

단계 1.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$1$
$x$	+	$10$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$10$

단계 1.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x + 10$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$1$
$x$	+	$10$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$10$

단계 1.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$1$
$x$	+	$10$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$10$
					-	$10$

단계 1.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\int_{0}^{5} 1 - \frac{10}{x + 10} d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{5} d x + \int_{0}^{5} - \frac{10}{x + 10} d x$

단계 3

상수 규칙을 적용합니다.

$x]_{0}^{5} + \int_{0}^{5} - \frac{10}{x + 10} d x$

단계 4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x]_{0}^{5} - \int_{0}^{5} \frac{10}{x + 10} d x$

단계 5

$10$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $10$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x]_{0}^{5} - (10 \int_{0}^{5} \frac{1}{x + 10} d x)$

단계 6

$10$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x]_{0}^{5} - 10 \int_{0}^{5} \frac{1}{x + 10} d x$

단계 7

먼저 $u = x + 10$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 7.1

$u = x + 10$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 7.1.1

$x + 10$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 10]$

단계 7.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 10$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$

단계 7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [10]$

단계 7.1.4

$10$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $10$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $10$ 입니다.

$1 + 0$

단계 7.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 7.2

$u = x + 10$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 0 + 10$

단계 7.3

$0$ 를 $10$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 10$

단계 7.4

$u = x + 10$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 5 + 10$

단계 7.5

$5$ 를 $10$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 15$

단계 7.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 10$

$u_{upper} = 15$

단계 7.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$x]_{0}^{5} - 10 \int_{10}^{15} \frac{1}{u} d u$

단계 8

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$x]_{0}^{5} - 10 (\ln (| u |)]_{10}^{15})$

단계 9

대입하여 간단히 합니다.

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단계 9.1

$5$ , $0$ 일 때, $x$ 값을 계산합니다.

$(5) + 0 - 10 (\ln (| u |)]_{10}^{15})$

단계 9.2

$15$ , $10$ 일 때, $\ln (| u |)$ 값을 계산합니다.

$(5) + 0 - 10 ((\ln (| 15 |)) - \ln (| 10 |))$

단계 9.3

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5 - 10 (\ln (| 15 |) - \ln (| 10 |))$

단계 10

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$5 - 10 \ln (\frac{| 15 |}{| 10 |})$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $15$ 사이의 거리는 $15$ 입니다.

$5 - 10 \ln (\frac{15}{| 10 |})$

단계 11.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $10$ 사이의 거리는 $10$ 입니다.

$5 - 10 \ln (\frac{15}{10})$

단계 11.3

$15$ 및 $10$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.3.1

$15$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$5 - 10 \ln (\frac{5 (3)}{10})$

단계 11.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.2.1

$10$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$5 - 10 \ln (\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2})$

단계 11.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$5 - 10 \ln (\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2})$

단계 11.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$5 - 10 \ln (\frac{3}{2})$

단계 12

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$5 - 10 \ln (\frac{3}{2})$

소수 형태:

$0.94534891 \dots$

단계 13