미적분 예제

$5 x^{- \frac{1}{2}}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{- \frac{1}{2}}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

단계 1.2

$n = - \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

단계 1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$5 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 1.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$5 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$5 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 1.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$5 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

단계 1.6.2

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$5 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

단계 1.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$5 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

단계 1.8

$x^{- \frac{3}{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$5 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

단계 1.9

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 5 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

단계 1.10

$- 5$ 와 $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 5 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

단계 1.11

식을 간단히 합니다.

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단계 1.11.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{3}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{- 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 1.11.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = - \frac{5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$- \frac{5}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ 의 미분은 $- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ 입니다.

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 을 ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

단계 2.2.2

${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

단계 2.2.2.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 2.2.2.2.1

$\frac{3}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

단계 2.2.2.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 3}{2}}]$

단계 2.2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

단계 2.3

$n = - \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

단계 2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 2.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 2.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

단계 2.7.2

$- 3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

단계 2.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

단계 2.9

$x^{- \frac{5}{2}}$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{5}{2} (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

단계 2.10

곱합니다.

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단계 2.10.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 (\frac{5}{2}) \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

단계 2.10.2

$\frac{5}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

단계 2.11

$\frac{5}{2}$ 에 $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{5 (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{2 \cdot 2}$

단계 2.12

곱합니다.

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단계 2.12.1

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{15 x^{- \frac{5}{2}}}{2 \cdot 2}$

단계 2.12.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{15 x^{- \frac{5}{2}}}{4}$

단계 2.12.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{5}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (x) = \frac{15}{4 x^{\frac{5}{2}}}$