미적분 예제

$\int_{- 2}^{1} (4 x^{3} + 5 x^{2} - x + 1) d x$

단계 1

괄호를 제거합니다.

$\int_{- 2}^{1} 4 x^{3} + 5 x^{2} - x + 1 d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- 2}^{1} 4 x^{3} d x + \int_{- 2}^{1} 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

단계 3

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 \int_{- 2}^{1} x^{3} d x + \int_{- 2}^{1} 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

단계 5

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

단계 6

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 \int_{- 2}^{1} x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

단계 8

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

단계 9

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - \int_{- 2}^{1} x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} d x$

단계 11

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} d x$

단계 12

상수 규칙을 적용합니다.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + x]_{- 2}^{1}$

단계 13

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$1$ , $- 2$ 일 때, $\frac{x^{4}}{4}$ 값을 계산합니다.

$4 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + x]_{- 2}^{1}$

단계 13.2

$1$ , $- 2$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + x]_{- 2}^{1}$

단계 13.3

$1$ , $- 2$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + x]_{- 2}^{1}$

단계 13.4

$1$ , $- 2$ 일 때, $x$ 값을 계산합니다.

$4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.5.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$4 (\frac{1}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.2

$- 2$ 를 $4$ 승 합니다.

$4 (\frac{1}{4} - \frac{16}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.3

$16$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.5.3.1

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.5.3.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$4 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$4 (\frac{1}{4} - \frac{4}{1}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.3.2.4

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 (\frac{1}{4} - 1 \cdot 4) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.4

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{1}{4} - 4) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 4$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{1}{4} - 4 \cdot \frac{4}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.6

$- 4$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{1}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$4 \frac{1 - 4 \cdot 4}{4} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.8

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.5.8.1

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$4 \frac{1 - 16}{4} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.8.2

$1$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$4 (\frac{- 15}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$4 (- \frac{15}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.10

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 4 (\frac{15}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.11

$- 4$ 와 $\frac{15}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4 \cdot 15}{4} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.12

$- 4$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$\frac{- 60}{4} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.13

$- 60$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.5.13.1

$- 60$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 \cdot - 15}{4} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.13.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.5.13.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 \cdot - 15}{4 (1)} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.13.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 \cdot - 15}{4 \cdot 1} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.13.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 15}{1} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.13.2.4

$- 15$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 15 + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.14

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 15 + 5 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.15

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 15 + 5 (\frac{1}{3} - \frac{- 8}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.16

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- 15 + 5 (\frac{1}{3} - - \frac{8}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.17

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 15 + 5 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3})) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.18

$\frac{8}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 15 + 5 (\frac{1}{3} + \frac{8}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.19

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 15 + 5 \frac{1 + 8}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.20

$1$ 를 $8$ 에 더합니다.

$- 15 + 5 (\frac{9}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.21

$9$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.5.21.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- 15 + 5 \frac{3 \cdot 3}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.21.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.5.21.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- 15 + 5 \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.21.2.2

공약수로 약분합니다.

$- 15 + 5 \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.21.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 15 + 5 (\frac{3}{1}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.21.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 15 + 5 \cdot 3 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.22

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 15 + 15 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.23

$- 15$ 를 $15$ 에 더합니다.

$0 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.24

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$0 - (\frac{1}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.25

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$0 - (\frac{1}{2} - \frac{4}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.26

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.5.26.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$0 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.26.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.5.26.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$0 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + 1 + 2$

단계 13.5.26.2.2

공약수로 약분합니다.

$0 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + 1 + 2$

단계 13.5.26.2.3

수식을 다시 씁니다.

$0 - (\frac{1}{2} - \frac{2}{1}) + 1 + 2$

단계 13.5.26.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$0 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 2) + 1 + 2$

단계 13.5.27

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$0 - (\frac{1}{2} - 2) + 1 + 2$

단계 13.5.28

공통 분모를 가지는 분수로 $- 2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$0 - (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.29

$- 2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$0 - (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.30

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$0 - \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} + 1 + 2$

단계 13.5.31

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.5.31.1

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$0 - \frac{1 - 4}{2} + 1 + 2$

단계 13.5.31.2

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$0 - \frac{- 3}{2} + 1 + 2$

단계 13.5.32

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$0 - - \frac{3}{2} + 1 + 2$

단계 13.5.33

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 + 1 (\frac{3}{2}) + 1 + 2$

단계 13.5.34

$\frac{3}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{3}{2} + 1 + 2$

단계 13.5.35

$0$ 를 $\frac{3}{2}$ 에 더합니다.

$\frac{3}{2} + 1 + 2$

단계 13.5.36

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{3}{2} + 3$

단계 13.5.37

공통 분모를 가지는 분수로 $3$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

단계 13.5.38

$3$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

단계 13.5.39

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3 + 3 \cdot 2}{2}$

단계 13.5.40

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.5.40.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 + 6}{2}$

단계 13.5.40.2

$3$ 를 $6$ 에 더합니다.

$\frac{9}{2}$

단계 14

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{9}{2}$

소수 형태:

$4.5$

대분수 형식:

$4 \frac{1}{2}$

단계 15