미적분 예제

$e^{- 3 x} - 4 x + 50$

단계 1

합의 법칙에 의해 $e^{- 3 x} - 4 x + 50$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [50]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [50]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- 3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [50]$

단계 2.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [50]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $- 3 x$ 로 바꿉니다.

$e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [50]$

단계 2.2

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [50]$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [50]$

단계 2.4

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{- 3 x} \cdot - 3 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [50]$

단계 2.5

$e^{- 3 x}$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$- 3 e^{- 3 x} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [50]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 3 e^{- 3 x} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [50]$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 e^{- 3 x} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [50]$

단계 3.3

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 e^{- 3 x} - 4 + \frac{d}{d x} [50]$

단계 4

$50$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $50$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $50$ 입니다.

$- 3 e^{- 3 x} - 4 + 0$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$- 3 e^{- 3 x} - 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 3 e^{- 3 x} - 4$

단계 5.2

항을 다시 정렬합니다.

$- 4 - 3 e^{- 3 x}$