미적분 예제

$\frac{d}{d x} (\arcsin (x^{4}))$

단계 1

$f (x) = \arcsin (x)$ , $g (x) = x^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 1.2

$\arcsin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ 입니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x^{4})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

${(x^{4})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{4 \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.1.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{8}}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{8}}} (4 x^{3})$

단계 2.3

분수를 통분합니다.

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단계 2.3.1

$4$ 와 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{8}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{\sqrt{1 - x^{8}}} x^{3}$

단계 2.3.2

$\frac{4}{\sqrt{1 - x^{8}}}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x^{3}}{\sqrt{1 - x^{8}}}$