미적분 예제

$y = x e^{- x}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x e^{- x})$

단계 2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (y) = x$ , $g (y) = e^{- x}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d y} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d y} [x]$

단계 3.2

$f (y) = e^{y}$ , $g (y) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d y} [x]$

단계 3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d y} [x]$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$x (e^{- x} \frac{d}{d y} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d y} [x]$

단계 3.3

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [x]$ 입니다.

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d y} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d y} [x]$

단계 3.4

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$x (e^{- x} (- x')) + e^{- x} \frac{d}{d y} [x]$

단계 3.5

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$x (e^{- x} (- x')) + e^{- x} x'$

단계 3.6

간단히 합니다.

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단계 3.6.1

항을 다시 정렬합니다.

$- e^{- x} x x' + e^{- x} x'$

단계 3.6.2

$- e^{- x} x x' + e^{- x} x'$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- x e^{- x} x' + e^{- x} x'$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$1 = - x e^{- x} x' + e^{- x} x'$

단계 5

$x'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

$- x e^{- x} x' + e^{- x} x' = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- x e^{- x} x' + e^{- x} x' = 1$

단계 5.2

$- x e^{- x} x' + e^{- x} x'$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- x x' e^{- x} + x' e^{- x} = 1$

단계 5.3

$- x x' e^{- x} + x' e^{- x}$ 에서 $x' e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.1

$- x x' e^{- x}$ 에서 $x' e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$x' e^{- x} (- x) + x' e^{- x} = 1$

단계 5.3.2

$x' e^{- x}$ 에서 $x' e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$x' e^{- x} (- x) + x' e^{- x} \cdot 1 = 1$

단계 5.3.3

$x' e^{- x} (- x) + x' e^{- x} \cdot 1$ 에서 $x' e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$x' e^{- x} (- x + 1) = 1$

단계 5.4

$x' e^{- x} (- x + 1) = 1$ 의 각 항을 $e^{- x} (- x + 1)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

$x' e^{- x} (- x + 1) = 1$ 의 각 항을 $e^{- x} (- x + 1)$ 로 나눕니다.

$\frac{x' e^{- x} (- x + 1)}{e^{- x} (- x + 1)} = \frac{1}{e^{- x} (- x + 1)}$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.4.2.1

$e^{- x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x' e^{- x} (- x + 1)}{e^{- x} (- x + 1)} = \frac{1}{e^{- x} (- x + 1)}$

단계 5.4.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x' (- x + 1)}{- x + 1} = \frac{1}{e^{- x} (- x + 1)}$

단계 5.4.2.2

$- x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x' (- x + 1)}{- x + 1} = \frac{1}{e^{- x} (- x + 1)}$

단계 5.4.2.2.2

$x'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x' = \frac{1}{e^{- x} (- x + 1)}$

단계 5.4.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.4.3.1

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x' = \frac{1}{e^{- x} (- (x) + 1)}$

단계 5.4.3.2

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$x' = \frac{1}{e^{- x} (- (x) - 1 (- 1))}$

단계 5.4.3.3

$- (x) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x' = \frac{1}{e^{- x} (- (x - 1))}$

단계 5.4.3.4

음수 부분을 다시 씁니다.

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단계 5.4.3.4.1

$- (x - 1)$ 을 $- 1 (x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$x' = \frac{1}{e^{- x} (- 1 (x - 1))}$

단계 5.4.3.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x' = - \frac{1}{e^{- x} (x - 1)}$

단계 6

$x'$ 에 $\frac{d x}{d y}$ 를 대입합니다.

$\frac{d x}{d y} = - \frac{1}{e^{- x} (x - 1)}$