미적분 예제

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}}{h}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8 + h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.1.2

$2$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2 lim_{h \to 0} \sqrt[3]{8 + h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.1.3

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{2 \sqrt[3]{lim_{h \to 0} 8 + h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.1.4

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{2 \sqrt[3]{lim_{h \to 0} 8 + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.1.5

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $8$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{2 \sqrt[3]{8 + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.1.6

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $2 \sqrt[3]{8}$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{2 \sqrt[3]{8 + lim_{h \to 0} h} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.2

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{2 \sqrt[3]{8 + 0} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1.1

$8$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 \sqrt[3]{8} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.3.1.2

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 \sqrt[3]{2^{3}} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.3.1.3

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$\frac{2 \cdot 2 - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.3.1.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4 - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.3.1.5

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{4 - 2 \sqrt[3]{2^{3}}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.3.1.6

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$\frac{4 - 2 \cdot 2}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.3.1.7

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.3.2

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.3

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.2

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{2^{3}}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.3

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4

합의 법칙에 의해 $2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \cdot 2$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h}] + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]$ 가 됩니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h}] + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.5

$\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{8 + h}$ 을(를) ${(8 + h)}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 {(8 + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.5.2

$2$ 은 $h$ 에 대해 일정하므로 $h$ 에 대한 $2 {(8 + h)}^{\frac{1}{3}}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d h} [{(8 + h)}^{\frac{1}{3}}]$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{d}{d h} [{(8 + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.5.3

$f (h) = h^{\frac{1}{3}}$ , $g (h) = 8 + h$ 일 때 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ 는 $f' (g (h)) g' (h)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.5.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $8 + h$ 로 바꿉니다.

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d h} [8 + h]) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.5.3.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [8 + h]) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.5.3.3

$u$ 를 모두 $8 + h$ 로 바꿉니다.

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [8 + h]) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.5.4

합의 법칙에 의해 $8 + h$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [h]$ 가 됩니다.

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.5.5

$8$ 이 $h$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.5.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.5.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.5.8

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.5.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.5.10

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.10.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.5.10.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{- 2}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.5.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{- \frac{2}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.5.12

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.5.13

$\frac{1}{3}$ 와 ${(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{{(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.5.14

$\frac{{(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{{(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.5.15

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.5.16

$2$ 와 $\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ 을 묶습니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.6

$\frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.6.1

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.6.2

$- 4$ 이 $h$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.7

$\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}}{1}$

단계 1.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

단계 1.5

$\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{2}{3}$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2}{3} lim_{h \to 0} \frac{1}{{(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.2

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.3

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.4

극한의 멱의 법칙을 이용하여 ${(8 + h)}^{\frac{2}{3}}$ 의 지수 $\frac{2}{3}$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{h \to 0} 8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.5

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{h \to 0} 8 + lim_{h \to 0} h)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.6

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $8$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(8 + lim_{h \to 0} h)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 3

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(8 + 0)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 4

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

조합합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{3 {(8 + 0)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3 {(8 + 0)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 4.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$8$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2}{3 \cdot 8^{\frac{2}{3}}}$

단계 4.3.2

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

단계 4.3.3

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{2}{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}$

단계 4.3.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}$

단계 4.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{3 \cdot 2^{2}}$

단계 4.3.5

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{2}{3 \cdot 4}$

단계 4.4

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{12}$

단계 4.5

$2$ 및 $12$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (1)}{12}$

단계 4.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.1

$12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}$

단계 4.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}$

단계 4.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{6}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1}{6}$

소수 형태:

$0.1\overline{6}$