미적분 예제

$\sqrt[4]{x^{3} + 4 x^{2} + 7}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[4]{x^{3} + 4 x^{2} + 7}$ 을(를) ${(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{4}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{4}}]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ , $g (x) = x^{3} + 4 x^{2} + 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{3} + 4 x^{2} + 7$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

단계 2.2

$n = \frac{1}{4}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x^{3} + 4 x^{2} + 7$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

단계 6.2

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

단계 7

분수를 통분합니다.

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단계 7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

단계 7.2

$\frac{1}{4}$ 와 ${(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{- \frac{3}{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

단계 7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{- \frac{3}{4}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

단계 8

합의 법칙에 의해 $x^{3} + 4 x^{2} + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

단계 9

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

단계 10

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

단계 11

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [7])$

단계 12

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + 8 x + \frac{d}{d x} [7])$

단계 13

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + 8 x + 0)$

단계 14

$3 x^{2} + 8 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + 8 x)$

단계 15

간단히 합니다.

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단계 15.1

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + 8 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(3 x^{2} + 8 x) \frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}}$

단계 15.2

$3 x^{2} + 8 x$ 에 $\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2} + 8 x}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}}$

단계 15.3

$3 x^{2} + 8 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 15.3.1

$3 x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (3 x) + 8 x}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}}$

단계 15.3.2

$8 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (3 x) + x \cdot 8}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}}$

단계 15.3.3

$x (3 x) + x \cdot 8$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (3 x + 8)}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}}$