미적분 예제

$y = \frac{1}{\sqrt[5]{8 x^{2} - 2}}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[5]{8 x^{2} - 2}$ 을(를) ${(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \frac{1}{{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}}}$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}}})$

단계 3

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\frac{1}{{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}}}$ 을 ${({(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{({(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{- 1}]$

단계 4.1.2

${({(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5} \cdot - 1}]$

단계 4.1.2.2

$\frac{1}{5}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{- 1}{5}}]$

단계 4.1.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d}{d x} [{(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{5}}]$

단계 4.2

$f (x) = x^{- \frac{1}{5}}$ , $g (x) = 8 x^{2} - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $8 x^{2} - 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

단계 4.2.2

$n = - \frac{1}{5}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{5} u^{- \frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

단계 4.2.3

$u$ 를 모두 $8 x^{2} - 2$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

단계 4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

단계 4.4

$- 1$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

단계 4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

단계 4.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{- 1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

단계 4.6.2

$- 1$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{- 6}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

단계 4.7

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{6}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

단계 4.7.2

${(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{6}{5}}$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$- \frac{{(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{6}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

단계 4.7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{6}{5}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

단계 4.8

합의 법칙에 의해 $8 x^{2} - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

단계 4.9

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x^{2}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

단계 4.10

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2])$

단계 4.11

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (16 x + \frac{d}{d x} [- 2])$

단계 4.12

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (16 x + 0)$

단계 4.13

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.13.1

$16 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (16 x)$

단계 4.13.2

$16$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 16 \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} x$

단계 4.13.3

$- 16$ 와 $\frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 16}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} x$

단계 4.13.4

$\frac{- 16}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{- 16 x}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$

단계 4.13.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{16 x}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - \frac{16 x}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{16 x}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$