미적분 예제

$y = \arctan (\frac{x}{6}) + \frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\arctan (\frac{x}{6}) + \frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{6})] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{6})] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{6})]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = \frac{x}{6}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{6}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

단계 2.1.2

$\arctan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $\frac{x}{6}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

단계 2.2

$\frac{1}{6}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{6}$ 의 미분은 $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}} (\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}} (\frac{1}{6} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

단계 2.4

$\frac{1}{6}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}} \cdot \frac{1}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

단계 2.5

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}}$ 에 $\frac{1}{6}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(1 + {(\frac{x}{6})}^{2}) \cdot 6} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

단계 2.6

$1 + {(\frac{x}{6})}^{2}$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{6}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}$ 의 미분은 $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{x^{2} + 3}]$ 입니다.

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{x^{2} + 3}]$

단계 3.2

$f (x) = 3 x - 7$ , $g (x) = x^{2} + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 7] - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.3

합의 법칙에 의해 $3 x - 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.4

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.6

$- 7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 7$ 입니다.

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + 0) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.7

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + 0) - (3 x - 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + 0) - (3 x - 7) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.9

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + 0) - (3 x - 7) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.10

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 + 0) - (3 x - 7) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.11

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) \cdot 3 - (3 x - 7) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.12

$x^{2} + 3$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot (x^{2} + 3) - (3 x - 7) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.13

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 7) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.14

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 7) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.15

$\frac{1}{6}$ 에 $\frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 7) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 7) x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{x}{6}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{6 (1 + \frac{x^{2}}{6^{2}})} + \frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 7) x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{6 \cdot 1 + 6 \frac{x^{2}}{6^{2}}} + \frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 7) x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{6 \cdot 1 + 6 \frac{x^{2}}{6^{2}}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x - 7) x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{6 \cdot 1 + 6 \frac{x^{2}}{6^{2}}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 + (- 2 (3 x) - 2 \cdot - 7) x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{6 \cdot 1 + 6 \frac{x^{2}}{6^{2}}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.6

항을 묶습니다.

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단계 4.6.1

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6 + 6 \frac{x^{2}}{6^{2}}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.6.2

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{6 + 6 \frac{x^{2}}{36}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.6.3

$6$ 와 $\frac{x^{2}}{36}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{6 + \frac{6 x^{2}}{36}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.6.4

$6$ 및 $36$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.6.4.1

$6 x^{2}$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{6 + \frac{6 (x^{2})}{36}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.6.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.6.4.2.1

$36$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{6 + \frac{6 x^{2}}{6 \cdot 6}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.6.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{6 + \frac{6 x^{2}}{6 \cdot 6}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.6.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.6.5

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.6.6

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 6 x \cdot x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.6.7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 6 (x^{1} x) - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.6.8

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 6 (x^{1} x^{1}) - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.6.9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 6 x^{1 + 1} - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.6.10

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 6 x^{2} - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.6.11

$- 2$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 6 x^{2} + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.6.12

$3 x^{2}$ 에서 $6 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{- 3 x^{2} + 9 + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.6.13

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} \cdot \frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}} + \frac{- 3 x^{2} + 9 + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.6.14

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{- 3 x^{2} + 9 + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{6 + \frac{x^{2}}{6}}{6 + \frac{x^{2}}{6}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} \cdot \frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}} + \frac{- 3 x^{2} + 9 + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}} \cdot \frac{6 + \frac{x^{2}}{6}}{6 + \frac{x^{2}}{6}}$

단계 4.6.15

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(6 + \frac{x^{2}}{6}) \cdot 6 {(x^{2} + 3)}^{2}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.6.15.1

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}}$ 에 $\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{(6 + \frac{x^{2}}{6}) (6 {(x^{2} + 3)}^{2})} + \frac{- 3 x^{2} + 9 + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}} \cdot \frac{6 + \frac{x^{2}}{6}}{6 + \frac{x^{2}}{6}}$

단계 4.6.15.2

$\frac{- 3 x^{2} + 9 + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$ 에 $\frac{6 + \frac{x^{2}}{6}}{6 + \frac{x^{2}}{6}}$ 을 곱합니다.

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{(6 + \frac{x^{2}}{6}) (6 {(x^{2} + 3)}^{2})} + \frac{(- 3 x^{2} + 9 + 14 x) (6 + \frac{x^{2}}{6})}{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (6 + \frac{x^{2}}{6})}$

단계 4.6.15.3

$(6 + \frac{x^{2}}{6}) (6 {(x^{2} + 3)}^{2})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (6 + \frac{x^{2}}{6})} + \frac{(- 3 x^{2} + 9 + 14 x) (6 + \frac{x^{2}}{6})}{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (6 + \frac{x^{2}}{6})}$

단계 4.6.16

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} + (- 3 x^{2} + 9 + 14 x) (6 + \frac{x^{2}}{6})}{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (6 + \frac{x^{2}}{6})}$