미적분 예제

$2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$

단계 1

$2 x^{2} + x$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

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단계 1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0$

단계 1.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

단계 1.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$d = \frac{1}{4}$

단계 1.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

단계 1.4.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 1.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.4.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

단계 1.4.2.1.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{1}{8}$

단계 1.4.2.2

$0$ 에서 $\frac{1}{8}$ 을 뺍니다.

$e = - \frac{1}{8}$

단계 1.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ 에 대입합니다.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

단계 2

$2 x^{2} + x$ 를 $2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ 로 바꿔 방정식 $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$ 에 대입합니다.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + y + z = 9$

단계 3

양변에 $\frac{1}{8}$ 을 더하여 $- \frac{1}{8}$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + y + z = 9 + \frac{1}{8}$

단계 4

$2 y^{2} + y$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

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단계 4.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0$

단계 4.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 4.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

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단계 4.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

단계 4.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$d = \frac{1}{4}$

단계 4.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

단계 4.4.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 4.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.4.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

단계 4.4.2.1.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{1}{8}$

단계 4.4.2.2

$0$ 에서 $\frac{1}{8}$ 을 뺍니다.

$e = - \frac{1}{8}$

단계 4.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ 에 대입합니다.

$2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

단계 5

$2 y^{2} + y$ 를 $2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ 로 바꿔 방정식 $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$ 에 대입합니다.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} = 9 + \frac{1}{8}$

단계 6

양변에 $\frac{1}{8}$ 을 더하여 $- \frac{1}{8}$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

단계 7

$2 z^{2} + z$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

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단계 7.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0$

단계 7.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 7.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

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단계 7.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

단계 7.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$d = \frac{1}{4}$

단계 7.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

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단계 7.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

단계 7.4.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 7.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

단계 7.4.2.1.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{1}{8}$

단계 7.4.2.2

$0$ 에서 $\frac{1}{8}$ 을 뺍니다.

$e = - \frac{1}{8}$

단계 7.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ 에 대입합니다.

$2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

단계 8

$2 z^{2} + z$ 를 $2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ 로 바꿔 방정식 $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$ 에 대입합니다.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} = 9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

단계 9

양변에 $\frac{1}{8}$ 을 더하여 $- \frac{1}{8}$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

단계 10

$9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$ 을 간단히 합니다.

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단계 10.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{1 + 1 + 1}{8}$

단계 10.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 10.2.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{2 + 1}{8}$

단계 10.2.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{3}{8}$

단계 10.3

공통 분모를 가지는 분수로 $9$ 을 표현하기 위해 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{8}$

단계 10.4

$9$ 와 $\frac{8}{8}$ 을 묶습니다.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{9 \cdot 8}{8} + \frac{3}{8}$

단계 10.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{9 \cdot 8 + 3}{8}$

단계 10.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.6.1

$9$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{72 + 3}{8}$

단계 10.6.2

$72$ 를 $3$ 에 더합니다.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{75}{8}$

단계 11