미적분 예제

$t^{2} \ln^{4} (t)$

단계 1

$f (t) = t^{2}$ , $g (t) = \ln^{4} (t)$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$t^{2} \frac{d}{d t} [\ln^{4} (t)] + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

단계 2

$f (t) = t^{4}$ , $g (t) = \ln (t)$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\ln (t)$ 로 바꿉니다.

$t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

단계 2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$t^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $\ln (t)$ 로 바꿉니다.

$t^{2} (4 \ln^{3} (t) \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

단계 3

$\ln (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{t}$ 입니다.

$t^{2} (4 \ln^{3} (t) \frac{1}{t}) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

단계 4

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{t}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$t^{2} (\frac{4}{t} \ln^{3} (t)) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

단계 4.2

항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$\frac{4}{t}$ 와 $\ln^{3} (t)$ 을 묶습니다.

$t^{2} \frac{4 \ln^{3} (t)}{t} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

단계 4.2.2

$t^{2}$ 와 $\frac{4 \ln^{3} (t)}{t}$ 을 묶습니다.

$\frac{t^{2} (4 \ln^{3} (t))}{t} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

단계 4.2.3

$t^{2}$ 및 $t$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.3.1

$t^{2} (4 \ln^{3} (t))$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t (t (4 \ln^{3} (t)))}{t} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

단계 4.2.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.3.2.1

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{t (t (4 \ln^{3} (t)))}{t^{1}} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

단계 4.2.3.2.2

$t^{1}$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t (t (4 \ln^{3} (t)))}{t \cdot 1} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

단계 4.2.3.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{t (t (4 \ln^{3} (t)))}{t \cdot 1} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

단계 4.2.3.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{t (4 \ln^{3} (t))}{1} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

단계 4.2.3.2.5

$t (4 \ln^{3} (t))$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$t (4 \ln^{3} (t)) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

단계 4.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$t (4 \ln^{3} (t)) + \ln^{4} (t) (2 t)$

단계 4.4

항을 다시 정렬합니다.

$4 t \ln^{3} (t) + 2 t \ln^{4} (t)$