미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} d x$

단계 1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ 을 $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))$ 로 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

단계 1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (x) (\sec (x) + \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

단계 1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

단계 1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

단계 1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$\sec (x) \sec (x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1.1

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{1} (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

단계 1.3.1.1.2

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

단계 1.3.1.1.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {\sec (x)}^{1 + 1} + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

단계 1.3.1.1.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

단계 1.3.1.2

$\tan (x) \tan (x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.2.1

$\tan (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) d x$

단계 1.3.1.2.2

$\tan (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) d x$

단계 1.3.1.2.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} d x$

단계 1.3.1.2.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan^{2} (x) d x$

단계 1.3.2

$\tan (x) \sec (x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

단계 1.3.3

$\sec (x) \tan (x)$ 를 $\sec (x) \tan (x)$ 에 더합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{6}} 2 \sec (x) \tan (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \tan^{2} (x) d x$

단계 3

$\tan (x)$ 의 도함수는 $\sec^{2} (x)$ 이므로, $\sec^{2} (x)$ 의 적분값은 $\tan (x)$ 이 됩니다.

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + \int_{0}^{\frac{π}{6}} 2 \sec (x) \tan (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \tan^{2} (x) d x$

단계 4

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (x) \tan (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \tan^{2} (x) d x$

단계 5

$\sec (x)$ 의 도함수는 $\sec (x) \tan (x)$ 이므로, $\sec (x) \tan (x)$ 의 적분값은 $\sec (x)$ 이 됩니다.

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \tan^{2} (x) d x$

단계 6

피타고라스 항등식을 이용하여 $\tan^{2} (x)$ 를 $- 1 + \sec^{2} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - 1 + \sec^{2} (x) d x$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - 1 d x + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) d x$

단계 8

상수 규칙을 적용합니다.

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + - x]_{0}^{\frac{π}{6}} + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) d x$

단계 9

$\tan (x)$ 의 도함수는 $\sec^{2} (x)$ 이므로, $\sec^{2} (x)$ 의 적분값은 $\tan (x)$ 이 됩니다.

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + - x]_{0}^{\frac{π}{6}} + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

단계 10

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$- x]_{0}^{\frac{π}{6}}$ 와 $\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$ 을 묶습니다.

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + - x + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

단계 10.1.2

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$ 와 $- x + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$ 을 묶습니다.

$2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + \tan (x) - x + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

단계 10.1.3

$\tan (x)$ 를 $\tan (x)$ 에 더합니다.

$2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + - x + 2 \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

단계 10.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$\frac{π}{6}$ , $0$ 일 때, $\sec (x)$ 값을 계산합니다.

$2 ((\sec (\frac{π}{6})) - \sec (0)) + - x + 2 \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

단계 10.2.2

$\frac{π}{6}$ , $0$ 일 때, $- x + 2 \tan (x)$ 값을 계산합니다.

$2 ((\sec (\frac{π}{6})) - \sec (0)) + (- \frac{π}{6} + 2 \tan (\frac{π}{6})) - (- 0 + 2 \tan (0))$

단계 10.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 (\sec (\frac{π}{6}) - \sec (0)) - \frac{π}{6} + 2 \tan (\frac{π}{6}) - (0 + 2 \tan (0))$

단계 10.2.3.2

$0$ 를 $2 \tan (0)$ 에 더합니다.

$2 (\sec (\frac{π}{6}) - \sec (0)) - \frac{π}{6} + 2 \tan (\frac{π}{6}) - (2 \tan (0))$

단계 10.2.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 (\sec (\frac{π}{6}) - \sec (0)) - \frac{π}{6} + 2 \tan (\frac{π}{6}) - 2 \tan (0)$

단계 10.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

$\sec (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 입니다.

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - \sec (0)) - \frac{π}{6} + 2 \tan (\frac{π}{6}) - 2 \tan (0)$

단계 10.3.2

$\sec (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1 \cdot 1) - \frac{π}{6} + 2 \tan (\frac{π}{6}) - 2 \tan (0)$

단계 10.3.3

$\tan (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 입니다.

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1 \cdot 1) - \frac{π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \tan (0)$

단계 10.3.4

$\tan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1 \cdot 1) - \frac{π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

단계 10.3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - \frac{π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

단계 10.3.6

공통 분모를 가지는 분수로 $2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1)$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

단계 10.3.7

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1)$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) \cdot 6}{6} - \frac{π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

단계 10.3.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) \cdot 6 - π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

단계 10.3.9

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{12 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

단계 10.3.10

$2$ 와 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{12 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - π}{6} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

단계 10.3.11

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{12 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - π}{6} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 0$

단계 10.3.12

$\frac{12 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - π}{6} + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{12 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - π}{6} + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

단계 11

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{12 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - π}{6} + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

소수 형태:

$0.94050283 \dots$