미적분 예제

$y = \arctan (4 x^{2} - 3)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\arctan (4 x^{2} - 3))$

단계 2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (y) = \arctan (y)$ , $g (y) = 4 x^{2} - 3$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $4 x^{2} - 3$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 3]$

단계 3.1.2

$\arctan (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 3]$

단계 3.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $4 x^{2} - 3$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 3]$

단계 3.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{2} - 3$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3])$

단계 3.2.2

$4$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3])$

단계 3.3

$f (y) = y^{2}$ , $g (y) = x$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

단계 3.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

단계 3.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

단계 3.4

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 (x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

단계 3.5

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x x' + \frac{d}{d y} [- 3])$

단계 3.6

$- 3$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x x' + 0)$

단계 3.7

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

$8 x x'$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x x')$

단계 3.7.2

$8$ 와 $\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (x x')$

단계 3.7.3

$x$ 와 $\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x \cdot 8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} x'$

단계 3.7.4

$\frac{x \cdot 8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ 와 $x'$ 을 묶습니다.

$\frac{x \cdot 8 x'}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$

단계 3.7.5

$x$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$\frac{8 \cdot x x'}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$

단계 3.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{8 x x'}{{(4 x^{2} - 3)}^{2} + 1}$

단계 3.8.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.2.1

${(4 x^{2} - 3)}^{2}$ 을 $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{8 x x'}{(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3) + 1}$

단계 3.8.2.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{8 x x'}{4 x^{2} (4 x^{2} - 3) - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

단계 3.8.2.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{8 x x'}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

단계 3.8.2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{8 x x'}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

단계 3.8.2.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.2.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

단계 3.8.2.3.1.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.2.3.1.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 (x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

단계 3.8.2.3.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 x^{2 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

단계 3.8.2.3.1.2.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

단계 3.8.2.3.1.3

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

단계 3.8.2.3.1.4

$- 3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

단계 3.8.2.3.1.5

$4$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} - 3 \cdot - 3 + 1}$

단계 3.8.2.3.1.6

$- 3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} + 9 + 1}$

단계 3.8.2.3.2

$- 12 x^{2}$ 에서 $12 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 9 + 1}$

단계 3.8.2.4

$9$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 10}$

단계 3.8.2.5

$16 x^{4} - 24 x^{2} + 10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.2.5.1

$16 x^{4}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4}) - 24 x^{2} + 10}$

단계 3.8.2.5.2

$- 24 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 10}$

단계 3.8.2.5.3

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (5)}$

단계 3.8.2.5.4

$2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)}$

단계 3.8.2.5.5

$2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

단계 3.8.3

$8$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.3.1

$8 x x'$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (4 x x')}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

단계 3.8.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (4 x x')}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

단계 3.8.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$1 = \frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5}$

단계 5

$x'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} = 1$

단계 5.2

양변에 $8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5) = 1 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1

$8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5) = 1 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)$

단계 5.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$4 x x' = 1 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)$

단계 5.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 x x' = 8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$

단계 5.4

$4 x x' = 8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ 의 각 항을 $4 x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$4 x x' = 8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ 의 각 항을 $4 x$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x x'}{4 x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x x'}{4 x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

단계 5.4.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x x'}{x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

단계 5.4.2.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x x'}{x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

단계 5.4.2.2.2

$x'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x' = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

단계 5.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1.1

$8$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1.1.1

$8 x^{4}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x' = \frac{4 (2 x^{4})}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

단계 5.4.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1.1.2.1

$4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x' = \frac{4 (2 x^{4})}{4 (x)} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

단계 5.4.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$x' = \frac{4 (2 x^{4})}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

단계 5.4.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x' = \frac{2 x^{4}}{x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

단계 5.4.3.1.2

$x^{4}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1.2.1

$2 x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

단계 5.4.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x^{1}} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

단계 5.4.3.1.2.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

단계 5.4.3.1.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

단계 5.4.3.1.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$x' = \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

단계 5.4.3.1.2.2.5

$2 x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x' = 2 x^{3} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

단계 5.4.3.1.3

$- 12$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1.3.1

$- 12 x^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x' = 2 x^{3} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

단계 5.4.3.1.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1.3.2.1

$4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x' = 2 x^{3} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 (x)} + \frac{5}{4 x}$

단계 5.4.3.1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$x' = 2 x^{3} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

단계 5.4.3.1.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x' = 2 x^{3} + \frac{- 3 x^{2}}{x} + \frac{5}{4 x}$

단계 5.4.3.1.4

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1.4.1

$- 3 x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x} + \frac{5}{4 x}$

단계 5.4.3.1.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x^{1}} + \frac{5}{4 x}$

단계 5.4.3.1.4.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{5}{4 x}$

단계 5.4.3.1.4.2.3

공약수로 약분합니다.

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{5}{4 x}$

단계 5.4.3.1.4.2.4

수식을 다시 씁니다.

$x' = 2 x^{3} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{5}{4 x}$

단계 5.4.3.1.4.2.5

$- 3 x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x' = 2 x^{3} - 3 x + \frac{5}{4 x}$

단계 6

$x'$ 에 $\frac{d x}{d y}$ 를 대입합니다.

$\frac{d x}{d y} = 2 x^{3} - 3 x + \frac{5}{4 x}$